Hoe vind ik de integraal int (x * e ^ -x) dx?

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #

Werkwijze:

#int x e ^ (- x) dx = # ?

Deze integraal vereist integratie door onderdelen. Houd rekening met de formule:

#int u dv = uv - int v du #

We zullen laten #u = x #, en #dv = e ^ (- x) dx #.

daarom #du = dx #. bevinding # V # vereist een # U #substitutie; Ik zal de brief gebruiken # Q # in plaats van # U # omdat we al gebruiken # U # in de formule integratie door delen.

#v = int e ^ (- x) dx #

laat #q = -x #.

dus, #dq = -dx #

We zullen de integraal herschrijven, twee minpunten toevoegen om aan te passen # DQ #:

#v = -int -e ^ (- x) dx #

Geschreven in termen van # Q #:

#v = -int e ^ (q) dq #

daarom

#v = -e ^ (q) #

Vervangen voor # Q # geeft ons:

#v = -e ^ (- x) #

Nu, terugkijkend op de formule van de IBP, hebben we alles wat we nodig hebben om te vervangen:

#int xe ^ (- x) dx = x * (- e ^ (- x)) - int -e ^ (- x) dx #

Vereenvoudig, annuleer de twee negatieven:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) + int e ^ (- x) dx #

Die tweede integraal moet gemakkelijk op te lossen zijn - het is gelijk aan # V #, die we al hebben gevonden. Gewoon vervangen, maar vergeet niet om de constante van integratie toe te voegen:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #

Hoe vind ik de integraal int (ln (x)) ^ 2dx?

Ons doel is om de kracht van lnx te verminderen, zodat de integraal gemakkelijker te evalueren is. We kunnen dit bereiken door integratie door delen te gebruiken. Houd rekening met de IBP-formule: int u dv = uv - int v du Nu laten we u = (lnx) ^ 2 en dv = dx. Daarom is du = (2lnx) / x dx en v = x. Nu, samen de stukken samenvoegend, krijgen we: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Deze nieuwe integraal ziet er veel beter uit! Een beetje vereenvoudigen, en de constante naar voren brengen, levert op: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Nu, om van deze volgende integraal af te komen, zullen we een

Hoe vind ik de integraal int (x * ln (x)) dx?

We zullen integratie door delen gebruiken. Denk aan de formule van de IBP, die int u dv = uv - int v du Let u = ln x, en dv = x dx is. We hebben deze waarden gekozen omdat we weten dat de afgeleide van ln x gelijk is aan 1 / x, wat betekent dat we in plaats van iets complexs (een natuurlijke logaritme) te integreren, uiteindelijk iets heel gemakkelijk gaan integreren. (een veelterm) Dus, du = 1 / x dx, en v = x ^ 2 / 2. Aansluiten in de IBP-formule geeft ons: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x ^ 2 / (2x) dx An x annuleert uit van de nieuwe integrand: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x / 2 dx De oplossing is nu

Hoe vind je de onbepaalde integraal van int root3x / (root3x-1)?

(root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3ln (abs (root3x-1)) + C We hebben int root3x / (root3x-1) dx Vervang u = (root3x-1) (du) / (dx) = x ^ (- 2/3) / 3 dx = 3x ^ (2/3) du int root3x / (root3x-1) (3x ^ (2 / 3)) du = int (3x) / (root3x-1) du = int (3 (u + 1) ^ 3) / udu = 3int (u ^ 3 + 3u ^ 2 + 3u + 1) / udu = int3u ^ 2 + 9u + 9 + 3 / udu = u ^ 3 + (9u ^ 2) / 2 + 9u + 3ln (abs (u)) + C Resubstitute u = root3x-1: (root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3LN (abs (root3x-1)) + C