Hoe vind ik de integraal int (x * ln (x)) dx?

We zullen integratie door delen gebruiken.

Denk aan de formule van de IBP, dat is

#int u dv = uv - int v du #

Laat #u = ln x #, en #dv = x dx #. We hebben deze waarden gekozen omdat we weten dat de afgeleide van #ln x # is gelijk aan # 1 / x #, wat betekent dat in plaats van iets complexs (een natuurlijke logaritme) te integreren, we nu iets heel gemakkelijk gaan integreren. (een polynoom)

Dus, #du = 1 / x dx #, en #v = x ^ 2/2 #.

Aansluiten op de formule van de IBP geeft ons:

#int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x ^ 2 / (2x) dx #

Een #X# zal annuleren van de nieuwe integrand:

#int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x / 2 dx #

De oplossing is nu gemakkelijk te vinden met behulp van de power rule. Vergeet de constante van integratie niet:

#int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - x ^ 2/4 + C #

Hoe vind ik de integraal int (ln (x)) ^ 2dx?

Ons doel is om de kracht van lnx te verminderen, zodat de integraal gemakkelijker te evalueren is. We kunnen dit bereiken door integratie door delen te gebruiken. Houd rekening met de IBP-formule: int u dv = uv - int v du Nu laten we u = (lnx) ^ 2 en dv = dx. Daarom is du = (2lnx) / x dx en v = x. Nu, samen de stukken samenvoegend, krijgen we: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Deze nieuwe integraal ziet er veel beter uit! Een beetje vereenvoudigen, en de constante naar voren brengen, levert op: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Nu, om van deze volgende integraal af te komen, zullen we een

Hoe vind ik de integraal int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proces: int x e ^ (- x) dx =? Deze integraal vereist integratie door onderdelen. Houd rekening met de formule: int u dv = uv - int v du We laten u = x en dv = e ^ (- x) dx. Daarom is du = dx. Het vinden van v vereist een u-vervanging; Ik gebruik de letter q in plaats van u, omdat we u al gebruiken in de formule voor integratie volgens delen. v = int e ^ (- x) dx laat q = -x. dus, dq = -dx We zullen de integraal herschrijven, en twee negatieven toevoegen om dq: v = -int -e ^ (- x) dx op te nemen. Geschreven in termen van q: v = -int e ^ (q) dq Daarom, v = -e ^ (q) Vervanging t

Hoe vind je de onbepaalde integraal van int root3x / (root3x-1)?

(root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3ln (abs (root3x-1)) + C We hebben int root3x / (root3x-1) dx Vervang u = (root3x-1) (du) / (dx) = x ^ (- 2/3) / 3 dx = 3x ^ (2/3) du int root3x / (root3x-1) (3x ^ (2 / 3)) du = int (3x) / (root3x-1) du = int (3 (u + 1) ^ 3) / udu = 3int (u ^ 3 + 3u ^ 2 + 3u + 1) / udu = int3u ^ 2 + 9u + 9 + 3 / udu = u ^ 3 + (9u ^ 2) / 2 + 9u + 3ln (abs (u)) + C Resubstitute u = root3x-1: (root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3LN (abs (root3x-1)) + C