Zoek zo mogelijk een functie f zodat grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Antwoord:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Uitleg:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Neem nu" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Dan hebben we één en dezelfde f, die aan de voorwaarden voldoet." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Antwoord:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Uitleg:

We hebben een slechte notatie in de vraag, omdat de deloper (of gradiëntoperator) een vectorverschiloperator is, We zoeken een functie #f (x, y) # zoals dat:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Waar #BB (Grad) # is de verloopoperator:

# "grad" f = bb (grad) f = (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x) bb (ul hat i) + (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

Waarvan we eisen dat:

# f_x = (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. EEN

# f_y = (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

Als we A dwt integreren #X#tijdens het behandelen # Y # als een constante dan krijgen we:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Als we B wrt integreren # Y #tijdens het behandelen #X# als een constante dan krijgen we:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Waar #u (y) # is een willekeurige functie van # Y # alleen, en #V (x) # is een willekeurige functie van #X# alleen.

Het is duidelijk dat deze functies identiek moeten zijn, dus we hebben:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

En dus kiezen we #V (x) = x ^ 4 # en #u (y) = y ^ 6 #, wat ons onze oplossing geeft:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

We kunnen de oplossing gemakkelijk bevestigen door de partiële derivaten te berekenen:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED