Wat is de limiet als t 0 nadert van (tan6t) / (sin2t)?

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. We bepalen dit door gebruik te maken van L'Hospital's Rule.

Om te parafraseren, verklaart de regel van L'Hospital dat wanneer een limiet van de vorm wordt gegeven #lim_ (t a) f (t) / g (t) #, waar #fa)# en #G (a) # zijn waarden die ervoor zorgen dat de limiet onbepaald is (het meest vaak, als beide 0 zijn, of een vorm van), dan zolang beide functies continu en differentieerbaar zijn op en in de buurt van #een,# dat mag je zeggen

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

Of in woorden, de limiet van het quotiënt van twee functies is gelijk aan de limiet van het quotiënt van hun derivaten.

In het gegeven voorbeeld hebben we #f (t) = tan (6t) # en #G (t) = sin (2t) #. Deze functies zijn dichtbij en continu te differentiëren # t = 0, tan (0) = 0 en sin (0) = 0 #. Dus onze eerste #f (a) / g (a) = 0/0 =. #

Daarom moeten we gebruik maken van de regel van L'Hospital. # d / dt tan (6t) = 6 sec ^ 2 (6t), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t) #. Dus…

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = lim_ (t-> 0) (6 sec ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 sec ^ 2 (0)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

Antwoord:

The Reqd. Lim.#=3#.

Uitleg:

We zullen dit vinden Begrenzing met behulp van het volgende Standaard resultaten:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

Observeer dat, #tan (6t) / sin (2t) = frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) ##frac (6t) (2t) = 3frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) #

Hier, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

Evenzo #lim_ (trarr0) sin (2t) / (2t) = 1 #

Daarom is de Reqd. Lim.#=3{1/1}=3#.