Voor f (x) = xsin ^ 3 (x / 3) wat is de vergelijking van de raaklijn op x = pi?

Antwoord:

# Y = 1.8276x-3,7 #

Uitleg:

Je moet de afgeleide vinden:

#f '(x) = (x) sin ^ 3 (x / 3) + x * (sin ^ 3 (x / 3)) "#

In dit geval is de afgeleide van de trigonometrische functie eigenlijk een combinatie van drie elementaire functies. Dit zijn:

# Sinx #

# X ^ n #

# C * x #

De manier waarop dit zal worden opgelost is als volgt:

# (Sin ^ 3 (x / 3)) = 3sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3)) = #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) (x / 3) = #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) * 1/3 = #

# = Sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

daarom:

#f '(x) = sin ^ 1 * 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3) + x cos (x / 3)) #

De afleiding van de tangensvergelijking:

#f (x_0) = (y-f (x_0)) / (x-x_0) #

#f (x_0) * (x-x_0) = y-f (x_0) #

# Y = f '(x_0) * x-f' (x_0) * x_0 + f (x_0) #

Vervanging van de volgende waarden:

# X_0 = π #

#f (x_0) = f (π) = π * sin ^ 3 (π / 3) = 2,0405 #

#f (x_0) = f (π) = sin ^ 2 (π / 3) * (sin (π / 3) + πcos (π / 3)) = 1,8276 #

Daarom wordt de vergelijking:

# Y = 1.8276x-* π 1,8276 + 2,0405 #

# Y = 1.8276x-3,7 #

In de onderstaande grafiek kun je dat zien op # X = π = 3,14 # de tangens neemt inderdaad toe en zal de y-as kruisen #Y <0 #

grafiek {x (sin (x / 3)) ^ 3 -1.53, 9.57, -0.373, 5.176}