Wat is int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx?

Antwoord:

#= 1/4#

Uitleg:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Antwoord:

#1/4#

Uitleg:

Kan dit op verschillende manieren doen, hier zijn er twee. De eerste is om een vervanging te gebruiken:

#color (rood) ("Methode 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

Laat #u = ln (x) betekent du = (dx) / x #

De grenzen veranderen:

#u = ln (x) betekent u: 0 rarr 1 #

Integraal wordt:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

Dit is de eenvoudiger manier, maar je kunt misschien niet altijd een vervanging doen. Een alternatief is integratie door delen.

#color (rood) ("Methode 2") #

Gebruik integratie door delen:

Voor functies #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) betekent u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) betekent v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

Groeperende termen:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

#Daarom int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

We werken echter met een welomlijnde integraal, dus het toepassen van limieten en het verwijderen van de constante:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #