Wat is de betekenis van partiële afgeleide? Geef een voorbeeld en help me om het kort te begrijpen.

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

Ik hoop dat het helpt.

Het gedeeltelijke derivaat is intrinsiek geassocieerd met de totale variatie.

Stel dat we een functie hebben #f (x, y) # en we willen weten hoeveel het varieert als we een verhoging introduceren voor elke variabele.

Ideeën maken, maken #f (x, y) = k x y # we willen weten hoeveel het is

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

In ons functie-voorbeeld hebben we

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

en dan

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

kiezen #dx, dy # willekeurig klein dan #dx dy approx 0 # en dan

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

maar over het algemeen

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx, y)) / dy dy #

nu maken #dx, dy # willekeurig klein we hebben

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

dus we kunnen de totale variatie voor een bepaalde functie berekenen, door de partiële afgeleiden te berekenen #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # en compounding

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Hier, de hoeveelheden #f_ (x_i) # worden gedeeltelijke afgeleiden genoemd en kunnen ook worden weergegeven als

# (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x_i) #

In ons voorbeeld

#f_x = (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x) = k x # en

#f_y = (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke y) = k y #

NOTITIE

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + DY) -f (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

Om het bovenstaande antwoord van Cesareo aan te vullen, zal ik een minder wiskundig rigoureuze inleidende definitie geven.

De gedeeltelijke afgeleide vertelt ons, losjes gezegd, hoeveel een multi-variabele functie zal veranderen wanneer andere variabelen constant worden gehouden. Stel dat we worden gegeven

#U (A, t) = A ^ # 2t

Waar # U # is de nut (geluk) functie van een bepaald product, #EEN# is de hoeveelheid product, en # T # is de tijd dat het product wordt gebruikt.

Stel dat het bedrijf dat het product produceert, zou willen weten hoeveel meer ze er uit kunnen halen als ze de levensduur van het product met 1 eenheid verlengen. Het gedeeltelijke derivaat zal het bedrijf deze waarde vertellen.

De gedeeltelijke afgeleide wordt over het algemeen aangeduid met de Griekse delta in kleine letters (# Gedeeltelijke #), maar er zijn andere notaties. We zullen gebruiken # Gedeeltelijke # voor nu.

Als we proberen te achterhalen in hoeverre het nut van het product verandert met een tijdseenheid met een tijdseenheid van 1, berekenen we de gedeeltelijke afgeleide van bruikbaarheid met betrekking tot tijd:

# (PartialU) / (partialt) #

Om de PD te berekenen, we houden andere variabelen constant. In dit geval behandelen we # A ^ 2 #, de andere variabele, alsof het een getal was. Bedenk uit de inleidende calculus dat de afgeleide van een constante tijd een variabele slechts de constante is. Het is hetzelfde idee hier: de (gedeeltelijke) afgeleide van # A ^ 2 #, een constante, tijden # T #, de variabele, is slechts de constante:

# (PartialU) / (partialt) = A ^ 2 #

Aldus produceert een toename van 1 eenheid in de tijd dat het product wordt gebruikt # A ^ 2 # meer nut. Met andere woorden, het product wordt bevredigender als het vaker kan worden gebruikt.

Er is veel, veel meer te zeggen over partiële afgeleiden - in feite kunnen volledige undergraduate en graduate cursussen worden gewijd aan het oplossen van slechts een paar soorten vergelijkingen met gedeeltelijke afgeleiden - maar het basisidee is dat de gedeeltelijke afgeleide ons vertelt hoeveel één veranderlijke veranderingen wanneer de andere dezelfde blijven.