Wat zijn de asymptoten van y = 4 / (x-1) en hoe teken je de functie uit?

Antwoord:

Horizontale asymptoot: # Y = 0 #

Verticale asymptoot: # X = 1 #

Raadpleeg de grafiek van # Y = 1 / x # wanneer je een grafiek maakt # Y = 4 / (x-1) # kan u helpen een idee te krijgen van de vorm van deze functie.

grafiek {4 / (x-1) -10, 10, -5, 5}

Uitleg:

asymptoten

Vind de verticale asymptoot van deze rationele functie door de noemer ervan in te stellen #0# en oplossen voor #X#.

Laat # X-1 = 0 #

# X = 1 #

Wat betekent dat er een verticale asymptoot door het punt gaat #(1,0)#.

* Ter info, je kunt ervoor zorgen # X = 1 # geeft een verticale asymptoot in plaats van een verwijderbaar punt van discontinuïteit door het evalueren van de teller-expressie op # X = 1 #. U kunt de verticale asymptoot bevestigen als het resultaat een waarde is die niet gelijk is aan nul. Als u echter met een nul eindigt, moet u de functie-uitdrukking vereenvoudigen, bijvoorbeeld de betreffende factor verwijderen # (X-1) #en herhaal die stappen. *

Misschien vindt u de horizontale asymptoot (a.k.a "eindgedrag") door te evalueren #lim_ {x tot infty} 4 / (x-1) # en #lim_ {x tot -infty} 4 / (x-1) #.

Als je nog geen limieten hebt geleerd, kun je de asymptoot nog steeds vinden door grote waarden van in te pluggen #X# (bijvoorbeeld door de functie te evalueren bij # X = 11 #, # X = 101 #, en # X = 1.001 #.) Waarschijnlijk zult u dat vinden als de waarde van #X# stijgen naar positieve oneindigheid, de waarde van # Y # steeds dichterbij komen - maar nooit bereikt #0#. Zo is het geval als #X# nadert negatieve oneindigheid.

Per definitie zien we dat de functie een horizontale asymptoot heeft # Y = 0 #

diagram

Je hebt misschien de uitdrukking gevonden van # Y = 1 / x #, de #X#-reciprocal functie vergelijkbaar met die van # Y = 4 / (x-1) #. Het is mogelijk om de laatste te tekenen op basis van kennis van de vorm van de eerste.

Overweeg welke combinatie van transformaties (zoals rekken en verschuiven) zal de eerste functie die we waarschijnlijk kennen, naar de functie in kwestie omzetten.

We beginnen met te converteren

# Y = 1 / x # naar # Y = 1 / (x-1) #

door de grafiek van de eerste functie naar de rechts door #1# eenheid. Algebraïsch gezien lijkt die transformatie op vervangen #X# in de originele functie met de uitdrukking # X-1 #.

Eindelijk zullen we de functie verticaal uitrekken # Y = 1 / (x-1) # met een factor #4# om de functie te krijgen waarnaar we op zoek zijn, # Y = 4 / (x-1) #. (Voor rationale functies met horizontale asymptoten zou de uitrekking de functie effectief naar buiten verplaatsen.)