Hoe int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt integreren?

Antwoord:

Gebruik een # U #-substitutie te krijgen # -3lnabs (cot (t)) + C #.

Uitleg:

Merk allereerst op dat omdat #3# is een constante, we kunnen het uit de integraal trekken om het te vereenvoudigen:

# 3int (CSC ^ 2 (t)) / kinderbed (t) dt #

Nu - en dit is het belangrijkste deel - merk op dat de afgeleide van #cot (t) # is # -Csc ^ 2 (t) #. Omdat we een functie en het bijbehorende derivaat in dezelfde integraal hebben, kunnen we een # U # vervanging als volgt:

# U = kinderbed (t) #

# (Du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# Du -csc = ^ 2 (t) dt #

We kunnen het positieve omzetten # Csc ^ 2 (t) # naar een negatief als dit:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / kinderbed (t) dt #

En pas de vervanging toe:

# -3int (du) / u #

We weten dat #int (du) / u = lnabs (u) + C #, dus het evalueren van de integraal is voltooid. We moeten alleen vervanging vervangen (geef het antwoord terug in termen van # T #) en bevestig dat #-3# naar het resultaat. Sinds # U = kinderbed (t) #, we kunnen zeggen:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3lnabs (cot (t)) + C #

En dat is alles.

Antwoord:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const. #

Uitleg:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Onthoudt dat

#sin 2t = 2sint * kosten #

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Zoals we kunnen vinden in een tabel met integralen

(bijvoorbeeld tabel van integralen die Csc (ax) bevatten in SOS Math):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) | #

we krijgen dit resultaat

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const. #

Hoe int sec ^ -1x integreren door integratie door delen methode?

Het antwoord is = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C We hebben (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ nodig 2-1)) intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) Integratie door delen is intu'v = uv-intuv 'Hier hebben we u' = 1, =>, u = xv = "boog "secx, =>, v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) Daarom int" arc "secxdx = x" arc "secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) Voer de tweede integraal uit door te substitueren. Laat x = secu, =>, dx = secutanudu sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu ) / (tanu) = intsecudu

Hoe int x ^ lnx te integreren?

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C We beginnen met een u-substitutie met u = ln (x). We delen dan door de afgeleide van u om te integreren met betrekking tot u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du Nu moeten we oplossen voor x in termen van u: u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du Je zou kunnen raden dat dit geen elementaire anti-afgeleide heeft, en je hebt gelijk. We kunnen echter het formulier gebruiken voor de denkbeeldige foutfunctie erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx Om onze integraal in dit formulier t

Hoe int e ^ x sinx cosx dx te integreren?

Int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C Eerst kunnen we de identiteit gebruiken: 2sinthetacostheta = sin2x wat geeft: int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Nu kunnen we integratie door delen gebruiken. De formule is: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx I laat f (x) = sin ( 2x) en g '(x) = e ^ x / 2. Als we de formule toepassen, krijgen we: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Nu kunnen we opnieuw integratie door delen toepassen , deze keer met f (x) = cos (2x) en g '(x) = e ^ x: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x /