Hoe int e ^ x sinx cosx dx te integreren?

Antwoord:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Uitleg:

Eerst kunnen we de identiteit gebruiken:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

wat geeft:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Nu kunnen we integratie door delen gebruiken. De formule is:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

ik zal laten #f (x) = sin (2x) # en #G '(x) = e ^ x / 2 #. Als we de formule toepassen, krijgen we:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Nu kunnen we integratie opnieuw door delen toepassen, deze keer met #f (x) = cos (2x) # en #G '(x) = x ^ e #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Nu hebben we de integraal aan beide zijden van de gelijkheid, dus we kunnen het als een vergelijking oplossen. Eerst voegen we 2 keer de integraal toe aan beide zijden:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Omdat we de helft wilden hebben als de coëfficiënt van de oorspronkelijke integraal, verdelen we beide kanten #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = E ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Antwoord:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Uitleg:

We zoeken:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

Welke met behulp van de identiteit:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

We kunnen schrijven als:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

Voor het gemak geven we aan:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #, en # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Nu voeren we opnieuw integratie door delen uit.

Laat # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Aansluitend aan de IBP-formule krijgen we:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Nu hebben we twee gelijktijdige vergelijkingen in twee onbekenden # I_S #. en # I_C #, dus vervangen door B in A hebben we:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Leiden naar:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #