Hoe int sec ^ -1x integreren door integratie door delen methode?

Antwoord:

Het antwoord is # = X "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Uitleg:

Wij hebben nodig

# (Sec ^ -1x) = ("ARC" secx) = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# Intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Integratie door delen is

# Intu'v = uv-intuv '#

Hier hebben we

# U '= 1 #, #=>#, # U = x #

# V = "boog" secx #, #=>#, # V "= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

daarom

#int "arc" secxdx = x "arc" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Voer de tweede integraal uit door substitutie

Laat # X = Secu #, #=>#, # Dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = Int (secu (secu + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Laat # V = vei + tanu #, #=>#, # Dv = (sec ^ 2u + secutanu) du #

Zo, # Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = Ln (vei tanu +) #

# = Ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Tenslotte, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Antwoord:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Uitleg:

Als alternatief kunnen we een weinig bekende formule gebruiken voor het uitwerken van integralen van inverse functies. De formule vermeldt:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

waar # F ^ -1 (x) # is het omgekeerde van #f (x) # en # F (x) # is het anti- derivaat van #f (x) #.

In ons geval krijgen we:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Nu is alles wat we nodig hebben om uit te werken het anti- derivaat # F #, wat de bekende secant-integraal is:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

Als u dit weer in de formule stopt, krijgt u ons laatste antwoord:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

We moeten voorzichtig zijn met vereenvoudigen #tan (sec ^ -1 (x)) # naar #sqrt (x ^ 2-1) # omdat de identiteit alleen geldig is als #X# is positief. We hebben echter geluk, omdat we dit kunnen oplossen door een absolute waarde te geven aan de andere term in de logaritme. Dit maakt ook de noodzaak voor de eerste absolute waarde overbodig, omdat alles binnen de logaritme altijd positief zal zijn:

# Xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #