Wat is de vergelijking van de parabool met focus op (5,3) en een richtlijn van y = -12?

Antwoord:

# Y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Uitleg:

De definitie van een parabool stelt dat alle punten op de parabool altijd dezelfde afstand tot de focus en de richtlijn hebben.

We kunnen het laten # P = (x, y) #, wat een algemeen punt op de parabool zal zijn, kunnen we laten # F = (5,3) # vertegenwoordigen de focus en # D = (x, -12) # vertegenwoordigen het dichtstbijzijnde punt op de richtlijn, de #X# is omdat het dichtstbijzijnde punt op de richtlijn altijd recht naar beneden is.

We kunnen nu een vergelijking instellen met deze punten. We gebruiken de afstandsformule om de afstanden te berekenen:

# D = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

We kunnen dit op onze punten toepassen om eerst de afstand tussen te krijgen # P # en # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Dan bepalen we de afstand tussen # P # en # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Omdat deze afstanden gelijk moeten zijn aan elkaar, kunnen we ze in een vergelijking plaatsen:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Sinds het punt # P # is in algemene vorm en kan elk punt op de parabool vertegenwoordigen, als we gewoon kunnen oplossen # Y # in de vergelijking zullen we een vergelijking achterlaten die ons alle punten op de parabool zal geven, of met andere woorden, het zal de vergelijking van de parabool zijn.

Ten eerste zullen we beide kanten vierkant maken:

# (Sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

We kunnen dan uitbreiden:

# X ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + + 24y 144 #

Als we alles aan de linkerkant plaatsen en dezelfde termen verzamelen, krijgen we:

# X ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30j = x ^ 2-10x-110 #

# Y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# Y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

dat is de vergelijking van onze parabool.