Hoe evalueer je de definitieve integraal int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) van [0, pi / 4]?

Hoe evalueer je de definitieve integraal int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) van [0, pi / 4]?
Anonim

Antwoord:

# Pi / 4 #

Uitleg:

Merk op dat vanaf de tweede Pythagorische identiteit dat

# 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #

Dit betekent dat de breuk gelijk is aan 1 en dit laat ons de vrij eenvoudige integraal van

# int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4 #

Antwoord:

# Pi / 4 #

Uitleg:

Interessant genoeg kunnen we ook opmerken dat dit in de vorm van de arctangente integraal past, namelijk:

# Int1 / (1 + u ^ 2) du = arctan (u) #

Hier, als # U = tanx # dan # Du = sec ^ 2xdx #, dan:

# Intsec ^ 2x / (1 + tan ^ 2 x) dx = int1 / (1 + u ^ 2) du = arctan (u) = arctan (tanx) = x #

De grenzen toevoegen:

# Int_0 ^ (pi / 4) sec ^ 2 x / (1 + tan ^ 2 x) dx = x _0 ^ (pi / 4) = pi / 4-0 = pi / 4 #