Hoe evalueer je de integraal van int (dt) / (t-4) ^ 2 van 1 tot 5?

Antwoord:

Plaatsvervanger # X = t-4 #

Antwoord is, als je inderdaad wordt gevraagd om alleen de integraal te vinden:

#-4/3#

Als je het gebied zoekt, is het niet zo eenvoudig.

Uitleg:

# Int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

Stel:

# T-= 4 x #

Daarom is het verschil:

# (D (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# Dt = dx #

En de limieten:

# X_1 = t_1-4 = 4/1 = -3 #

# X_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Vervang nu deze drie gevonden waarden:

# Int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1DX / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

NOTITIE: LEES DIT NIET ALS JE NIET BEGONNEN IS HOE HET GEBIED TE VINDEN. Hoewel dit eigenlijk het gebied tussen de twee limieten zou moeten weergeven en omdat het altijd positief is, had het positief moeten zijn geweest. Deze functie is echter niet continu op # X = 4 # dus deze integraal vertegenwoordigt niet het gebied, als dat is wat je wilde. Het is een beetje ingewikkelder.

Antwoord:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Uitleg:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Antwoord:

Afhankelijk van hoeveel integratie je hebt geleerd, is het "beste" antwoord: "de integraal is nog niet gedefinieerd" (nog) of "de integraal divergeert"

Uitleg:

Wanneer we proberen te evalueren # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, we moeten controleren of de integrand is gedefinieerd op het interval waarover we integreren.

# 1 / (x-4) ^ 2 # is niet gedefinieerd op #4#, zo is het niet gedefinieerd over het hele interval #1,5#.

Vroeg in de studie van calculus, we definiëren de integraal door te beginnen met

"Laat # F # worden gedefinieerd op interval # A, b #… '

Zo vroeg in onze studie is het beste antwoord dat

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# is niet gedefinieerd (nog?)

Later breiden we de definitie uit naar wat "oneigenlijke integralen" worden genoemd

Deze omvatten integralen op onbegrensde intervallen (# (- oo, b #, # A, oo) # en # (- oo, oo) #) en ook intervallen waarop de integrand punten heeft waar deze niet is gedefinieerd.

Om te (proberen) evalueren # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, we evalueren de twee onjuiste integralen # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Merk op dat de integrand hier nog steeds niet op is gedefinieerd Gesloten intervallen.)

De methode is om het punt te vervangen waar de integrand niet gedefinieerd is door een variabele en vervolgens een limiet te nemen als die variabele het aantal benadert.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Laten we eerst de integraal vinden:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Op zoek naar de limiet als # Brarr4 ^ - #, we zien dat de limiet niet bestaat. (Zoals # Brarr4 ^ - #, de waarde van # -1 / (b-4) # stijgt zonder grenzen.)

Daarom is de integraal over #1,4# bestaat niet dus de integraal voorbij #1,5# bestaat niet.

We zeggen dat de integraal afwijkt.

Notitie

Sommigen zouden zeggen: we hebben nu een definitie van de integraal, er is gewoon geen nummer dat aan de definitie voldoet.