Hoe bepaal je of de onjuiste integraal convergeert of divert int 1 / [sqrt x] van 0 naar oneindig?

Antwoord:

De integraal divergeert.

Uitleg:

We zouden de vergelijkingstest kunnen gebruiken voor onjuiste integralen, maar in dit geval is de integraal zo eenvoudig te evalueren dat we hem gewoon kunnen berekenen en kijken of de waarde is begrensd.

# int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = 2sqrtx _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) = oo #

Dit betekent dat de integraal afwijkt.

Het kost Miranda 0,5 uur om 's ochtends naar het werk te rijden, maar het kost haar 0,75 uur om' s avonds van het werk naar huis te rijden. Welke vergelijking geeft deze informatie het beste weer als ze tegen een snelheid van 8 kilometer per uur naar het werk rijdt en met een snelheid van 0 naar huis rijdt?

Geen vergelijkingen om uit te kiezen, dus ik heb er een gemaakt! Als je 0,5 uur lang op 0.5 m afstand in de auto rijdt, rijd je 0,5 uur mee. Rijden met v mph gedurende 0,75 uur zou je 0,75 mijl in de verte brengen. Ervan uitgaande dat ze dezelfde weg van en naar het werk gaat, dus reist ze hetzelfde aantal mijlen dan 0,5r = 0,75v

Gebruik je de definitie van convergentie, hoe bewijs je dat de sequentie {5+ (1 / n)} convergeert van n = 1 naar oneindig?

Laat: a_n = 5 + 1 / n en dan voor elke m, n in NN met n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) als n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n en als 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Gegeven een reëel getal epsilon> 0, kies dan een geheel getal N> 1 / epsilon. Voor elke gehele getallen m, n> N hebben we: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon die de conditie van Cauchy voor de convergentie van een sequentie bewijst.

Gebruik je de definitie van convergentie, hoe bewijs je dat de sequentie {2 ^ -n} convergeert van n = 1 naar oneindig?

Gebruik de eigenschappen van de exponentiële functie om N te bepalen, zoals | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon voor elke m, n> N De definitie van convergentie stelt dat de {a_n} convergeert als: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Dus, gegeven epsilon> 0 neem N> log_2 (1 / epsilon) en m, n> N met m <n As m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 dus | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Nu zoals 2 ^ x altijd is positief, (1- 2 ^ (mn)) <1, dus 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) En als 2 ^ (-