Gebruik je de definitie van convergentie, hoe bewijs je dat de sequentie {2 ^ -n} convergeert van n = 1 naar oneindig?

Antwoord:

Gebruik de eigenschappen van de exponentiële functie om N zoals te bepalen # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # voor iedere # m, n> N #

Uitleg:

De definitie van convergentie stelt dat de #{een}# convergeert als:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Dus, gegeven #epsilon> 0 # nemen #N> log_2 (1 / epsilon) # en # m, n> N # met #m <n #

Zoals #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # zo # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Nu als # 2 ^ x # is altijd positief, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, dus

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

En als # 2 ^ (- x) # is strikt afnemend en #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Maar:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Zo:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Quod erat demonstrandum