Gebruik je de definitie van convergentie, hoe bewijs je dat de sequentie {5+ (1 / n)} convergeert van n = 1 naar oneindig?

Laat:

#a_n = 5 + 1 / n #

dan voor wie dan ook # m, n in NN # met #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

zoals #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

en als # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Gegeven een reëel nummer #epsilon> 0 #, kies dan een geheel getal #N> 1 / epsilon #.

Voor alle gehele getallen # m, n> N # wij hebben:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

wat de conditie van Cauchy voor de convergentie van een reeks bewijst.