Wat is het verschil tussen tussenliggende waarden en de stelling van de extreme waarde?

Antwoord:

De Tussenliggende Waarde Stelling (IVT) zegt functies die continu zijn op een interval # A, b # neem alle (tussen) waarden over tussen hun uitersten. The Extreme Value Theorem (EVT) zegt functies die continu aan staan # A, b # hun extreme waarden bereiken (hoog en laag).

Uitleg:

Hier is een verklaring van de EVT: Let # F # blijf doorgaan # A, b #. Dan zijn er nummers # c, d in a, b # zoals dat #f (c) leq f (x) leq f (d) # voor iedereen #x in a, b #. Op een andere manier gezegd, de "supremum" # M # en "infimum" # M # van het bereik # {f (x): x in a, b } # bestaan (ze zijn eindig) en er bestaan nummers # c, d in a, b # zoals dat #f (c) = m # en #f (d) = M #.

Merk op dat de functie # F # moet continu ingeschakeld zijn # A, b # om de conclusie te houden. Bijvoorbeeld, als # F # is een dergelijke functie #f (0) = 0.5 #, #f (x) = x # voor #0<>, en #f (1) = 0,5 #, dan # F # bereikt geen maximum of minimum waarde op #0,1#. (De supremum en infimum van het bereik bestaan (ze zijn respectievelijk 1 en 0), maar de functie bereikt deze waarden nooit (nooit).)

Merk ook op dat het interval moet worden gesloten. De functie #f (x) = x # bereikt geen maximale of minimale waarde op het open interval #(0,1)#. (Nogmaals, de supremum en infimum van het bereik bestaan (ze zijn respectievelijk 1 en 0), maar de functie bereikt deze waarden nooit (nooit gelijk aan).)

De functie #f (x) = 1 / x # bereikt ook geen maximale of minimale waarde voor het open interval #(0,1)#. Bovendien bestaat de supremum van het bereik niet eens als een eindig getal (het is "oneindig").

Hier is een verklaring van de IVT: Let # F # blijf doorgaan # A, b # en stel dat #f (a)! = f (b) #. Als # V # is een willekeurig getal tussen #fa)# en #f (b) #, dan bestaat er een nummer #c in (a, b) # zoals dat #f (c) = v #. Bovendien, als # V # is een getal tussen de supremum en infimum van het bereik # {f (x): x in a, b} #, dan bestaat er een nummer #c in a, b # zoals dat #f (c) = v #.

Als je afbeeldingen maakt van verschillende discontinue functies, is het vrij duidelijk waarom # F # moet continu zijn voor de IVT om waar te zijn.