Een driehoek heeft zijden A, B en C. Zijkanten A en B hebben lengten van respectievelijk 10 en 8. De hoek tussen A en C is (13pi) / 24 en de hoek tussen B en C is (pi) 24. Wat is het gebied van de driehoek?

Antwoord:

Aangezien driehoekshoeken toevoegen aan #pi# we kunnen de hoek tussen de gegeven zijden en de gebiedsformule berekenen

#A = frac 1 2 a b sin C = 10 (sqrt {2} + sqrt {6}) #.

Uitleg:

Het helpt als we ons allemaal aan de conventie van kleine letterzijden houden #abc# en hoofdletter tegenovergestelde hoekpunten #ABC#. Laten we dat hier doen.

Het gebied van een driehoek is # A = 1/2 a b sin C # waar # C # is de hoek tussen #een# en # B #.

Wij hebben # B = frac {13 pi} {24} # en (denk dat het een typfout is in de vraag) # A = pi / 24 #.

Aangezien driehoekshoeken optellen tot # 180 ^ circ # aka #pi# we krijgen

#C = pi - pi / 24 - frac {13 pi} {24} = frac {10 pi} {24} = frac {5pi} {12} #

# Frac {5pi} {12} # is # 75 ^ circ. # We krijgen zijn sinus met de sum angle-formule:

# sin 75 ^ circ = sin (30 + 45) = sin 30 cos 45 + cos 30 sin 45 #

# = (frac 1 2 + frac sqrt {3} 2) sqrt {2} / 2 #

# = frac 1 4 (sqrt (2) + sqrt (6)) #

Dus ons gebied is

#A = frac 1 2 a b sin C = frac 1 2 (10) (8) frac 1 4 (sqrt (2) + sqrt (6)) #

#A = 10 (sqrt {2} + sqrt {6}) #

Neem het exacte antwoord met een korrel zout, want het is niet duidelijk dat we goed hebben geraden wat de vrager bedoelde met de hoek ertussen # B # en # C #.