Waarom is de functie niet differentieerbaar?

Antwoord:

#EEN)# Het derivaat bestaat niet

#B) # Ja

#C) # Nee

Uitleg:

Vraag A

Je kunt dit op verschillende manieren zien. Of we kunnen de functie differentiëren om te vinden:

#f '(x) = 6/5 (x-2) ^ (- 3/5) = 6 / (5 (x-2) ^ (3/5)) #

die ongedefinieerd is op # X = 2 #.

Of we kunnen naar de limiet kijken:

#lim_ (h-> 0) (f (2 + h) -f (2)) / h = lim_ (h-> 0) (3 (2 + h-2) ^ (2/5) -3 (2 -2) ^ (3/5)) / h = #

# = Lim_ (h-> 0) 0 / h #

Deze limiet is niet aanwezig, wat betekent dat het derivaat in dat punt niet bestaat.

Vraag B

Ja, de Mean Value-stelling is van toepassing. De differentiëringsvoorwaarde in de Mean Value-stelling vereist alleen dat de functie differentieerbaar is op het open interval # (A, b) # (DWZ niet #een# en # B # zichzelf), dus op het interval #2,5#, de stelling is van toepassing omdat de functie differentieerbaar is op het open interval #(2,5)#.

We kunnen ook zien dat er inderdaad een punt is met de gemiddelde helling in dat interval:

Vraag C

Nee. Zoals eerder vermeld, vereist de Mean Value Theorem dat de functie volledig differentieerbaar is op het open interval #(1,4)#, en we hebben eerder vermeld dat de functie niet differentieerbaar is op # X = 2 #, die in dat interval ligt. Dit betekent dat de functie niet differentieerbaar is in het interval en dat de Mean Value-stelling daarom niet van toepassing is.

We kunnen ook zien dat er geen punt is in het interval dat de gemiddelde hellingshoek van deze functie bevat, vanwege de "scherpe bocht" in de curve.

Laat f (x) = x-1. 1) Controleer of f (x) niet even of oneven is. 2) Kan f (x) worden geschreven als de som van een even functie en een oneven functie? a) Stel zo een oplossing voor. Zijn er meer oplossingen? b) Zo niet, bewijs dan dat het onmogelijk is.

Laat f (x) = | x -1 |. Als f even was, dan zou f (-x) gelijk zijn aan f (x) voor alle x. Als f oneven was, dan zou f (-x) gelijk zijn aan -f (x) voor alle x. Merk op dat voor x = 1 f (1) = | 0 | = 0 f (-1) = | -2 | = 2 Omdat 0 niet gelijk is aan 2 of aan -2, is f niet even noch oneven. Kan f geschreven worden als g (x) + h (x), waar g even is en h oneven? Als dat waar was, dan is g (x) + h (x) = | x - 1 |. Noem deze verklaring 1. Vervang x door -x. g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | Omdat g even is en h oneven is, hebben we: g (x) - h (x) = | -x - 1 | Noem deze verklaring 2. Door uitspraken 1 en 2 samen te voegen, zien we dat g

Laat f een functie zijn zodat (hieronder). Welke moet waar zijn? I. f is continu bij x = 2 II. f is differentieerbaar op x = 2 III. Het derivaat van f is continu bij x = 2 (A) I (B) II (C) I & II (D) I & III (E) II & III

(C) Merk op dat een functie f differentieerbaar is op een punt x_0 als lim_ (h-> 0) (f (x_0 + h) -f (x_0)) / h = L de gegeven informatie effectief is dat f differentieerbaar is op 2 en dat f '(2) = 5. Nu, kijkend naar de uitspraken: I: Ware Differentiatie van een functie op een moment impliceert zijn continuïteit op dat moment. II: Waar De gegeven informatie komt overeen met de definitie van differentiatie op x = 2. III: False De afgeleide van een functie is niet noodzakelijk continu, een klassiek voorbeeld is g (x) = {(x ^ 2sin (1 / x) als x! = 0), (0 als x = 0):}, die is differentieerbaar op 0, maar waarvan d

Kan een functie ononderbroken en niet-differentieerbaar zijn op een bepaald domein?

Ja. Een van de meest in het oog springende voorbeelden hiervan is de Weierstrass-functie, ontdekt door Karl Weierstrass, die hij in zijn originele artikel omschreef als: sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) waarbij 0 <a < 1, b is een positief oneven geheel getal en ab> (3pi + 2) / 2 Dit is een zeer stekelige functie die overal ononderbroken is op de Real-lijn, maar die nergens anders differentieerbaar is.