Laat f (x) = x-1. 1) Controleer of f (x) niet even of oneven is. 2) Kan f (x) worden geschreven als de som van een even functie en een oneven functie? a) Stel zo een oplossing voor. Zijn er meer oplossingen? b) Zo niet, bewijs dan dat het onmogelijk is.

Laat #f (x) = | x -1 | #.

Als f gelijk was, dan #f (-x) # zou gelijk zijn #f (x) # voor alle x.

Als f dan vreemd was, dan #f (-x) # zou gelijk zijn # -F (x) # voor alle x.

Merk op dat voor x = 1

#f (1) = | 0 | = 0 #

#f (-1) = | -2 | = 2 #

Omdat 0 niet gelijk is aan 2 of aan -2, is f niet even, noch oneven.

Kan worden geschreven als #g (x) + h (x) #, waar g gelijk is en h vreemd is?

Als dat waar was dan #g (x) + h (x) = | x - 1 | #. Noem deze verklaring 1.

Vervang x door -x.

#g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | #

Aangezien g gelijk is en h oneven is, hebben we:

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | # Noem deze verklaring 2.

Door uitspraken 1 en 2 samen te voegen, zien we dat

#g (x) + h (x) = | x - 1 | #

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | #

VOEG DEZE TOE om te verkrijgen

# 2g (x) = | x - 1 | + | -x - 1 | #

#g (x) = (| x - 1 | + | -x - 1 |) / 2 #

Dit is inderdaad zelfs sindsdien #g (-x) = (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 = g (x) #

Uit verklaring 1

# (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 + h (x) = | x - 1 | #

# | -x - 1 | / 2 + | x - 1 | / 2 + h (x) = | x - 1 | #

#h (x) = | x - 1 | / 2 - | -x - 1 | / 2 #

Dit is inderdaad vreemd, sinds

#h (-x) = | -x - 1 | / 2 - | x - 1 | / 2 = -h (x) #.