Kan een functie ononderbroken en niet-differentieerbaar zijn op een bepaald domein?

Antwoord:

Ja.

Uitleg:

Een van de meest in het oog springende voorbeelden hiervan is de Weierstrass-functie, ontdekt door Karl Weierstrass, die hij in zijn originele krant omschreef als:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

waar # 0 <a <1 #, # B # is een positief, vreemd geheel getal en #ab> (3pi + 2) / 2 #

Dit is een zeer stekelige functie die overal op de Real-lijn continu is, maar nergens anders differentieerbaar.

Antwoord:

Ja, als het een "gebogen" punt heeft. Een voorbeeld is #f (x) = | x | # op # X_0 = 0 #

Uitleg:

Continue functie betekent praktisch tekenen zonder uw potlood van het papier te halen. Wiskundig gezien betekent dit dat voor iedereen # X_0 # de waarden van #f (x_0) # omdat ze met oneindig klein worden benaderd # Dx # van links en rechts moet gelijk zijn:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

waar het minteken betekent naderen van links en plusteken betekent naderen van rechts.

Gedifferentieerde functie betekent praktisch een functie die gestaag de helling verandert (NIET met een constante snelheid). Daarom betekent een functie die op een gegeven moment niet-differentieerbaar is, praktisch dat deze de helling van links van dat punt naar rechts abrupt verandert.

Laten we 2 functies bekijken.

#f (x) = x ^ 2 # op # X_0 = 2 #

diagram

grafiek {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

Grafiek (ingezoomd)

grafiek {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Sinds bij # X_0 = 2 # de grafiek kan worden gevormd zonder het potlood van het papier te halen, de functie is op dat moment continu. Omdat het op dat moment niet gebogen is, is het ook differentieerbaar.

#G (x) = | x | # op # X_0 = 0 #

diagram

grafiek {absx -10, 10, -5.21, 5.21}

Op # X_0 = 0 # de functie is continu omdat deze kan worden getekend zonder het potlood van het papier te halen. Omdat het echter op dat punt buigt, is de functie niet differentieerbaar.