Wat is een oplossing voor de differentiaalvergelijking dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Antwoord:

De algemene oplossing is:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Uitleg:

Wij hebben:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

We kunnen termen voor vergelijkbare variabelen verzamelen:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Dat is een te scheiden niet-lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde, dus dat kunnen we "scheid de variabelen" te krijgen:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Beide integralen zijn die van standaardfuncties, dus we kunnen die kennis gebruiken om direct te integreren:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

En we kunnen er gemakkelijk voor herschikken # Y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Leid naar de algemene oplossing:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Antwoord:

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Uitleg:

Dit is een scheidbare differentiaalvergelijking, wat betekent dat het in de vorm kan worden geschreven:

# Dy / dx * f (y) = g (x) #

Het kan worden opgelost door beide kanten te integreren:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

In ons geval moeten we eerst de integraal in de juiste vorm scheiden. We kunnen dit doen door beide partijen te verdelen # (Y-1) ^ 2 #:

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Nu kunnen we beide kanten integreren:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

We kunnen de linkerhand-integraal oplossen met een vervanging van # U = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# U ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Resubstituting (en het combineren van constanten) geeft:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Vermenigvuldig beide kanten met # Y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Verdeel beide kanten door # E ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #