Los de differentiaalvergelijking op: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y? Bespreek wat voor soort differentiaalvergelijking dit is en wanneer het zich kan voordoen?

Antwoord:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Uitleg:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y #

best geschreven als

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad triangle #

waaruit blijkt dat dit een lineaire tweede orde homogene differentiaalvergelijking is

het heeft karakteristieke vergelijking

# r ^ 2 -8 r + 16 = 0 #

wat als volgt kan worden opgelost

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

dit is een herhaalde wortel dus de algemene oplossing is in vorm

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

dit is niet-oscillerend en modelleert een soort van exponentieel gedrag dat echt afhangt van de waarde van A en B. Men zou kunnen denken dat het een poging zou kunnen zijn om populatie of roofdier / prooi-interactie te modelleren, maar ik kan niet echt iets heel speciaals zeggen.

het toont instabiliteit en dat is ongeveer alles wat ik erover zou kunnen zeggen

Antwoord:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Uitleg:

De differentiaalvergelijking

# (D ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (DY) / (dx) + 16y = 0 #

is een lineaire homogene constante coëfficiëntvergelijking.

Voor die vergelijkingen heeft de algemene oplossing de structuur

#y = e ^ {lambda x} #

Substitueren hebben we

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Hier # e ^ {lambda x} ne 0 # dus de oplossingen moeten gehoorzamen

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Oplossen wij verkrijgen

# Lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Wanneer de wortels herhalen, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # is ook een oplossing. In het geval van # N # wortels herhaald, we zullen als oplossingen hebben:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # voor # I = 1,2, cdots, n #

Om het aantal initiële voorwaarden te behouden, nemen we ze dus op als onafhankelijke oplossingen.

In dit geval hebben we

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

wat resulteert in

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Deze vergelijkingen verschijnen bij het modelleren van lineaire geconcentreerde parametersystemen zoals die worden gevonden in lineaire circuittheorie of lineaire mechanica. Die vergelijkingen worden normaal gesproken afgehandeld met behulp van operationele algebraïsche methoden zoals Laplace Transform-methoden