Wat is de eenheidsvector die orthogonaal is ten opzichte van het vlak dat (- 5 i + 4 j - 5 k) en (4 i + 4 j + 2 k) bevat?

Antwoord:

Er zijn twee stappen: (1) vind het kruisproduct van de vectoren, (2) normaliseer de resulterende vector. In dit geval is het antwoord:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Uitleg:

Het kruisproduct van twee vectoren levert een vector op die orthogonaal is (haaks op beide).

Het kruisproduct van twee vectoren #(een#ik# + B #j# + C #k#)# en # (P #ik# + Q #j# + R #k#)# is gegeven door # (B * r-c * q) i + (c * p * r-a) j + (a * b * Q-p) k #

De eerste stap is om het crossproduct te vinden:

# (- 5i + 4j-5k) xx (4i + 4j + 2k) = ((4 * 2) - (4 * -5) i + ((-5 * 4) - (- 5 * 2)) j + ((-5 * 4) - (4 * 4)) k = ((8 - (- 20)) i + (- 20 - (- 10) j + ((- 20) -16) k) = (28i-10j -36k) #

Deze vector staat loodrecht op beide oorspronkelijke vectoren, maar is geen eenheidsvector. Om er een eenheidsvector van te maken, moeten we deze normaliseren: verdeel elk van zijn componenten over de lengte van de vector.

# L = sqrt (28 ^ 2 + (- 10) ^ 2 + (- 36) ^ 2) = 46,7 # units

De eenheidsvector loodrecht op de oorspronkelijke vectoren is:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Dit is een eenheidsvector die orthogonaal is ten opzichte van beide oorspronkelijke vectoren, maar er is een andere vector - de ene in de precies tegenovergestelde richting. Het eenvoudig veranderen van het teken van elk van de componenten levert een tweede vector op die orthogonaal is ten opzichte van de oorspronkelijke vectoren.

# (- (28) / (46,7) i + (10) / (46,7) j + (36) / (46,7) k) #

(maar het is de eerste vector die je zou moeten aanbieden als het antwoord op een test of opdracht!)