Hoe vind je de limiet van (ln x) ^ (1 / x) als x de oneindigheid nadert?

Antwoord:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Uitleg:

We beginnen met een vrij gemeenschappelijke truc bij het omgaan met variabele exponenten. We kunnen de natuurlijke log van iets nemen en het vervolgens verhogen als de exponent van de exponentiële functie zonder de waarde ervan te veranderen, omdat dit inverse bewerkingen zijn - maar het stelt ons in staat om de regels van logs op een voordelige manier te gebruiken.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

De exponentregel van logboeken gebruiken:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Merk op dat het de exponent is die varieert als # Xrarroo # zodat we ons erop kunnen concentreren en de exponentiële functie naar buiten kunnen verplaatsen:

# = Exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Als je kijkt naar het gedrag van de natuurlijke logfunctie zul je merken dat als x neigt tot oneindig, de waarde van de functie ook de neiging heeft tot oneindig, zij het zeer langzaam. Wanneer we nemen #ln (ln (x)) # we hebben een variabele in de logfunctie die heel langzaam naar het oneindige gaat, wat betekent dat we een algehele functie hebben die EXTREEM langzaam naar het oneindige neigt. De onderstaande grafiek varieert alleen tot # X = 1000 # maar het toont de extreem trage groei van #ln (ln (x)) # zelfs in vergelijking met de trage groei van #ln (x) #.

Uit dit gedrag kunnen we dat afleiden #X# zal een veel snellere asymptotische groei vertonen en dat de limiet van de exponent daarom nul zal zijn. #color (blauw) ("Dit betekent dat algemene limiet = 1.") #

We kunnen dit punt ook aanpakken met de regel van L'Hopital. We hebben de limiet nodig om in onbepaalde vorm te zijn, dat wil zeggen # 0/0 of oo / oo # dus we controleren dat dit het geval is:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Dit is inderdaad het geval, dus limiet wordt:

# = Exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

Differentiëren #y = ln (ln (x)) # herken dat we hebben #Y (u (x)) # en gebruik de kettingregel

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) betekent (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) impliceert (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#therefore (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Afgeleide van #X# is #1#. Limiet wordt:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) #

We hebben aangegeven dat beide functies op de noemer tot in het oneindige neigen, dus dat hebben we gedaan

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #