Wat is de eenheidsvector die orthogonaal is ten opzichte van het vlak dat (i -2j + 3k) en (i - j + k) bevat?

Antwoord:

Er zijn twee stappen om deze oplossing te vinden: 1. Zoek het kruisproduct van de twee vectoren om een vector te vinden loodrecht op het vlak dat ze bevat en 2. normaliseer die vector zodat deze eenheidslengte heeft.

Uitleg:

De eerste stap bij het oplossen van dit probleem is het vinden van het kruisproduct van de twee vectoren. Het crossproduct vindt per definitie een vector die orthogonaal is ten opzichte van het vlak waarin de twee vectoren worden vermenigvuldigd.

# (i-2j + 3k) xx (i-j + k) #

= # ((- 2 * 1) - (3 * -1)) i + ((3 * 1) - (1 * 1)) j + ((1 * -1) - (- 2 * 1)) k #

= # (- 2 - (- 3)) i + (3-1) j + (- 1 - (- 2)) k #

= # (I + 2j + k) #

Dit is een vector loodrecht op het vlak, maar het is nog geen eenheidsvector. Om er een te maken, moeten we de vector 'normaliseren': verdeel elk van zijn componenten op lengte. De lengte van een vector # (Ai + bj + ck) # is gegeven door:

#l = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

In dit geval:

#l = sqrt (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt6 #

Verdeling van elk onderdeel van # (I + 2j + k) # door # Sqrt6 # levert ons antwoord op, namelijk dat de eenheidsvector orthogonaal is ten opzichte van het vlak waarin # (i-2j + 3k) en (i-j + k) # leugen is:

# (I / sqrt6 + 2 / sqrt6j + k / sqrt6) #