Wat is de vergelijking in standaardvorm van de parabool met focus op (42, -31) en een richtlijn van y = 2?

Antwoord:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # standaard vorm

Uitleg:

Let op: de richtlijn is een horizontale lijn

#y = 2 #

Daarom is de parabool het type dat naar boven of naar beneden opent; de vertexvorm van de vergelijking voor dit type is:

#y = 1 / (4f) (x -h) ^ 2 + k "1" #

Waar # (H, k) # is de vertex en # F # is de getekende verticale afstand van de vertex tot de focus.

De x-coördinaat van de vertex is gelijk aan de x-coördinaat van de focus:

#h = 42 #

Plaatsvervanger #42# voor # H # in vergelijking 1:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k "2" #

De y-coördinaat van de vertex bevindt zich halverwege tussen de richtlijn en de focus:

#k = (y_ "directrix" + y_ "focus") / 2 #

#k = (2 + (- 31)) / 2 #

#k = -29 / 2 #

Plaatsvervanger #-29/2# voor # K # in vergelijking 2:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

De vergelijking om de waarde van te vinden # F # is:

#f = y_ "focus" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

Plaatsvervanger #-33/2# voor # F # in vergelijking 3:

#y = 1 / (4 (-33/2)) (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Vereenvoudig de breuk:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Vouw het vierkant uit:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

Distribueer de breuk:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 294 / 11-29 / 2 #

Combineer dezelfde voorwaarden:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # standaard vorm

Antwoord:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

Uitleg:

We zullen dit oplossen Probleem met behulp van het volgende Focus-directrice

Eigenschap (FDP) van de Parabool.

FDP: Elk punt op een Parabool is op gelijke afstand van de

Focus en de Directrix.

Laat maar, het punt # F = F (42, -31), "en, de regel" d: y-2 = 0, # worden

de Focus en de directrice van de Parabola, zeg S.

Laat, # P = P (x, y) in S, # wees er maar een Algemeen punt.

Dan, met behulp van de Afstandsformule, we hebben, de afstand,

# FP = sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} …………………………. (1). #

Wetende dat het # ONDERKANT #dist. tussen een punt # (K, k), # en, een regel:

# Ax + by + c = 0, # is, # | Ah + bk + c | / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), # we vinden dat, # "de" bot- "dist. btwn" P (x, y), &, d "is," | y-2 | ………….. (2). #

Door FDP, # (1) en (2), # wij hebben, # sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 |, of, #

# (x-42) ^ 2 = (y-2) ^ 2- (y + 31) ^ 2 = -66y-957, d.w.z. #

# X ^ 2-84x + 1764 = -66y-957. #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721, # welke in de Standaard vorm, leest, # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

zoals Gerespecteerd Douglas K. Sir is al afgeleid!

Geniet van wiskunde.!