Hoe gebruik je de limietvergelijkingstest voor sum 1 / (n + sqrt (n)) voor n = 1 tot n = oo?

Antwoord:

#sum_ (n = 1) OO1 ^ / (n + sqrt (n)) # divergeert, dit kan worden gezien door het te vergelijken met #sum_ (n = 1) ^ OO1 / (2n) #.

Uitleg:

Omdat deze reeks een optelsom van positieve getallen is, moeten we een convergente reeks vinden #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # zoals dat #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # en concluderen dat onze reeks convergent is, of dat we een afwijkende reeks moeten vinden #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # en concluderen dat onze reeks ook verschillend is.

We merken het volgende op:

Voor

#n> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

daarom

# N + sqrt (n) <= 2n #.

Zo

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Omdat het bekend is dat #sum_ (n = 1) ^ OO1 / n # divergeert, dus #sum_ (n = 1) ^ OO1 / (2n) # divergeert ook, want als het zou convergeren, dan # 2sum_ (n = 1) ^ OO1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ OO1 / n # zou ook convergeren, en dit is niet het geval.

Nu we de vergelijkingstest gebruiken, zien we dat #sum_ (n = 1) OO1 ^ / (n + sqrt (n)) # divergeert.

De limietvergelijkingstest duurt twee series, # Suma_n # en # Sumb_n # waar #a_n> = 0 #, # B_ngt0 #.

Als #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = l # waar #L> 0 # en is eindig, dan convergeren beide series ofwel beide series.

We moeten het laten # A_n = 1 / (n + sqrtn) #, de reeks uit de gegeven reeks. Een goede # B_n # keuze is de overheersende functie die #een# benaderingen als # N # wordt groot. Dus laat # B_n = 1 / n #.

Let daar op # Sumb_n # divergeert (het is de harmonische reeks).

Dat zien we dus #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #. Verdergaand door door te delen door # N / n #, dit wordt #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Omdat de limiet is #1#, dat is #>0# en gedefinieerd, we zien dat # Suma_n # en # Sumb_n # zullen beide divergeren of convergeren. Omdat we al weten op # Sumb_n # divergeert, kunnen we concluderen dat # Suma_n = sum_ (n = 1) OO1 ^ / (n + sqrtn) # divergeert ook.