Hoe te bewijzen dat de serie convergeert?

Antwoord:

Converges door de Direct Comparison Test.

Uitleg:

We kunnen de Direct Comparison Test gebruiken, voor zover we hebben

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, de serie begint om één.

Om de Direct Comparison Test te gebruiken, moeten we dat bewijzen # A_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # is positief # 1, oo) #.

Merk allereerst op dat op het interval # 1, oo), cos (1 / k) # is positief. Voor waarden van #X # Cosx # bevindt zich in het eerste kwadrant (en dus positief). Nou ja, voor #k> = 1, 1 / k zo, #cos (1 / k) # is inderdaad positief.

Verder kunnen we zeggen #cos (1 / k) <= 1 #, zoals #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Vervolgens kunnen we een nieuwe reeks definiëren

# B_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # voor iedereen # K. #

Goed, #sum_ (k = 1) ^ OO1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) OO1 ^ / k ^ 2 #

We weten dat dit convergeert door de # P- #serietest, het is in de vorm # SUM1 / k ^ p # waar # P = 2> 1 #.

Dan, aangezien de grotere reeksen convergeren, moeten ook de kleinere reeksen.

Antwoord:

Het komt overeen met de directe vergelijkingstest (zie hieronder voor meer informatie).

Uitleg:

Erken dat het bereik van cosinus -1,1 is. Bekijk de grafiek van #cos (1 / x) #:

grafiek {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Zoals je kunt zien, de maximum waarde dat dit zal bereiken, zal 1 zijn. Omdat we hier alleen convergentie proberen te bewijzen, laten we de teller op 1 zetten, en laten we:

# Sum1 / (9k ^ 2) #

Dit wordt nu een heel eenvoudig probleem van directe vergelijkingstest. Denk aan wat de directe vergelijkingstest doet:

Overweeg een willekeurige reeks #een# (we weten niet of het convergeert / divergeert), en een reeks waarvan we de convergentie / divergentie kennen, # B_n #:

Als #b_n> a_n # en # B_n # convergeert dan #een# convergeert ook.

Als #b_n <a_n # en # B_n # divergeert dan #een# divergeert ook.

We kunnen deze functie vergelijken met #b_n = 1 / k ^ 2 #. We kunnen dit doen omdat we weten dat het convergeert (vanwege de p-test).

Dus sindsdien # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, en # 1 / k ^ 2 # convergeert, kunnen we zeggen dat het serie convergeert

Maar wacht, we hebben alleen bewezen dat deze reeks convergeert wanneer de teller = 1. Hoe zit het met alle andere waarden #cos (1 / k) # kan nemen? Wel, onthoud dat 1 het is maximum waarde die de teller zou kunnen nemen. Omdat we hebben bewezen dat dit convergeert, hebben we indirect aangetoond dat deze reeks is geconvergeerd voor elke waarde in de teller.

Hoop dat het geholpen heeft:)

Gebruik je de definitie van convergentie, hoe bewijs je dat de sequentie {5+ (1 / n)} convergeert van n = 1 naar oneindig?

Laat: a_n = 5 + 1 / n en dan voor elke m, n in NN met n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) als n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n en als 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Gegeven een reëel getal epsilon> 0, kies dan een geheel getal N> 1 / epsilon. Voor elke gehele getallen m, n> N hebben we: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon die de conditie van Cauchy voor de convergentie van een sequentie bewijst.

Gebruik je de definitie van convergentie, hoe bewijs je dat de sequentie {2 ^ -n} convergeert van n = 1 naar oneindig?

Gebruik de eigenschappen van de exponentiële functie om N te bepalen, zoals | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon voor elke m, n> N De definitie van convergentie stelt dat de {a_n} convergeert als: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Dus, gegeven epsilon> 0 neem N> log_2 (1 / epsilon) en m, n> N met m <n As m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 dus | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Nu zoals 2 ^ x altijd is positief, (1- 2 ^ (mn)) <1, dus 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) En als 2 ^ (-

Gebruik je de definitie van convergentie, hoe bewijs je dat de volgorde lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 convergeert?

Geef een willekeurig aantal epsilon> 0 kies M> 1 / sqrt (6epsilon), met M in NN. Dan hebben we voor n> = M: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsil) = 1 / epsilon and so: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <epsilon die de limiet bewijst.