Hoe bewijs je: secx - cosx = sinx tanx?

Gebruik de definities van # Secx # en # Tanx #, samen met de identiteit

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, wij hebben

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = Sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = Sinxtanx #

Antwoord:

Converteer eerst alle termen in # Sinx # en # Cosx #.

Pas de regels van de fraction sum toe op de LHS.

Ten slotte passen we de Pythagorean-identiteit toe: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Uitleg:

Allereerst bij vragen over deze vormen is het een goed idee om alle termen om te zetten in sinus en cosinus: dus, vervangen #tan x # met #sin x / cos x #

en vervang #sec x # met # 1 / cos x #.

De LHS, #sec x- cos x # wordt # 1 / cos x- cos x #.

De RHS, # sin x tan x # wordt #sin x sin x / cos x # of # sin ^ 2 x / cos x #.

Nu passen we fraction sum-regels toe op de LHS, waardoor een gemeenschappelijke basis wordt gemaakt (net zoals nummerfracties zoals #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x- cos x => 1 / cos x- cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Ten slotte passen we de Pythagorean-identiteit toe: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (een van de meest bruikbare identiteiten voor dit soort problemen).

Door het te herschikken, krijgen we # 1- cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

We vervangen de # 1- cos ^ 2 x # in de LHS met # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # wat gelijk is aan de gewijzigde RHS.

Aldus LHS = RHS Q.E.D.

Merk op dat dit algemene patroon van het krijgen van dingen in termen van sinus en cosinus, met behulp van de breukregels en de Pythagorische identiteit, vaak dit soort vragen oplost.

Als we dit wensen, kunnen we ook de rechterkant aanpassen aan de linkerkant.

We zouden moeten schrijven # Sinxtanx # aangaande met # Sinx # en # Cosx #, met behulp van de identiteit #color (rood) (tanx = sinx / cosx) #:

# Sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Nu gebruiken we de Pythagorische identiteit, dat is # ^ Sin 2x + cos ^ 2x = 1 #. We kunnen dit aanpassen om op te lossen # Sin ^ 2x #, dus: #color (rood) (sin ^ = 2x 1-cos ^ 2x) #:

# ^ Sin 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Splits nu gewoon de teller:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Gebruik de wederzijdse identiteit #color (rood) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Antwoord:

Het is echt zo simpel …

Uitleg:

De identiteit gebruiken # Tanx = sinx / cosx #, vermenigvuldig het # Sinx # op de identiteit om te krijgen:

# Secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Vermenigvuldig dan # Cosx # door de vergelijking om te geven:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Gezien dat # Secx # is het omgekeerde van # Cosx #.

Eindelijk, met behulp van de trigonometrische identiteit # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #, het laatste antwoord zou zijn:

# Sin ^ 2x = sin ^ 2x #