Hoe bewijs je (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)?

We hebben deze twee identiteiten nodig om de proef te voltooien:

# Tanx = sinx / cosx #

#cos (x / 2) = + - sqrt ((1 + cosx) / 2) #

Ik begin met de rechterkant en manipuleer het totdat het lijkt op de linkerkant:

# RHS = cos ^ 2 (x / 2) #

#color (wit) (RHS) = (cos (x / 2)) ^ 2 #

#color (wit) (RHS) = (+ - sqrt ((1 + cosx) / 2)) ^ 2 #

#color (wit) (RHS) = (1 + cosx) / 2 #

#color (wit) (RHS) = (1 + cosx) / 2color (rood) (* sinx / sinx) #

#color (wit) (RHS) = (sinx sinxcosx +) / (2sinx) #

#color (wit) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) kleur (rood) (* (1 / cosx) / (1 / cosx)) #

#color (wit) (RHS) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) #

#color (wit) (RHS) = (tanx sinx +) / (2tanx) #

#color (wit) (RHS) = LHS #

Dat is het bewijs. Ik hoop dat dit geholpen heeft!

We proberen de identiteit te bewijzen:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

Bekijk de LHS van de uitdrukking en gebruik de definitie van tangens:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

# = (cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) #

# = (cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 #

# = (1 + cosx) / 2 #

Overweeg nu de RHS en gebruik de identiteit:

# cos2A - = 2cos ^ 2A - 1 #

Geeft ons:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) #

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

Dus:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) # QED

# LHS = (tanx sinx +) / (2tanx) #

# = (Annuleren (tanx) (1 + sinx / tanx)) / (2cancel (tanx)) #

# = (1 + cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = RHS #