De radii van twee concentrische cirkels zijn 16 cm en 10 cm. AB is een diameter van de grotere cirkel. BD raakt de kleinere cirkel die het bij D aanraakt. Wat is de lengte van AD?

Antwoord:

#bar (AD) = 23,5797 #

Uitleg:

De oorsprong aannemen #(0,0)# als het gemeenschappelijke centrum voor # C_i # en # C_e # en bellen # R_i = 10 # en # R_e = 16 # het raakpunt # P_0 = (x_0, y_0) # is op de kruising #C_i nn C_0 # waar

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 ^ 2 = r_i #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 ^ 2 = r_e #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

hier # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Oplossen voor #C_i nn C_0 # wij hebben

# {(X ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2- ^ r_i 2):} #

De eerste van de tweede vergelijking aftrekken

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2- ^ r_i 2-r_i ^ 2 # zo

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # en # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Eindelijk is de gezochte afstand

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

#bar (AD) = 23,5797 #

Uitleg:

Als #bar (BD) # is raaklijn aan # C_i # dan #hat (ODB) = pi / 2 # dus we kunnen pythagoras toepassen:

#bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # het bepalen van # R_0 #

# r_0 ^ 2 = balk (OB) ^ 2-balk (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Het punt # D # coördinaten, genoemd # (X_0, y_0) # moet worden verkregen voordat de gezochte afstand wordt berekend #bar (AD) #

Er zijn veel manieren om dat te doen. Een alternatieve methode is

# Y_0 = bar (BD) sin (pet (OBD)) # maar #sin (pet (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

dan

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # en

# X_0 = sqrt (r_i ^ 2- ^ y_0 2) #

Per gegeven gegevens wordt de bovenstaande figuur getekend.

O is het gemeenschappelijke centrum van twee concentrische cirkels

#AB -> "diameter van de grotere cirkel" #

# AO = OB -> "straal van de grotere cirkel" = 16 cm #

#DO -> "straal van de kleinere cirkel" = 10cm #

#BD -> "raakt aan de kleinere cirkel" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Laat # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) #

In #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Toepassing van de cosinuswet in # Delta ADO # we krijgen

AD # ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * Docos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * Docos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * Doxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23.58cm #

De som van twee opeenvolgende getallen is 77. Het verschil van de helft van het kleinere getal en een derde van het grotere getal is 6. Als x het kleinere getal is en y het grotere getal, welke twee vergelijkingen de som en het verschil van de nummers?

X + y = 77 1 / 2x-1 / 3y = 6 Als u de cijfers wilt weten die u kunt blijven lezen: x = 38 y = 39

Drie cirkels met radius r-eenheden worden binnen een gelijkzijdige driehoek van een zijde van een eenheid getrokken, zodanig dat elke cirkel de andere twee cirkels en twee zijden van de driehoek raakt. Wat is de relatie tussen r en a?

R / a = 1 / (2 (sqrt (3) +1) We weten dat a = 2x + 2r met r / x = tan (30 ^ @) x de afstand is tussen de linker onderste vertice en de verticale projectievoet van de linker onderste cirkel midden, want als de hoek van een gelijkzijdige driehoek 60 ^ @ is, heeft de bissectrice 30 ^ @ dan a = 2r (1 / tan (30 ^ @) + 1) dus r / a = 1 / (2 (sqrt (3) 1)

Twee cirkels met gelijke stralen r_1 en een lijn aanraken op dezelfde zijde van l staan op een afstand van x van elkaar. De derde cirkel met straal r_2 raakt de twee cirkels aan. Hoe vinden we de hoogte van de derde cirkel van l?

Zie hieronder. Stel dat x de afstand tussen de omtrek is en stel dat 2 (r_1 + r_2) gt x + 2r_1 we hebben h = sqrt ((r_1 + r_2) ^ 2- (r_1 + x / 2) ^ 2) + r_1-r_2 h is de afstand tussen l en de omtrek van C_2