Twee hoeken van een gelijkbenige driehoek staan op (1, 3) en (9, 4). Als het gebied van de driehoek 64 is, wat zijn de lengten van de zijden van de driehoek?

Antwoord:

De lengtes van de zijden van de driehoek zijn:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Uitleg:

De afstand tussen twee punten # (x_1, y_1) # en # (x_2, y_2) # wordt gegeven door de afstandsformule:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Dus de afstand tussen # (x_1, y_1) = (1, 3) # en # (x_2, y_2) = (9, 4) # is:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

wat een irrationeel getal is dat iets groter is dan #8#.

Als een van de andere zijden van de driehoek dezelfde lengte had, zou het maximaal mogelijke gebied van de driehoek zijn:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Dat kan dus niet het geval zijn. In plaats daarvan moeten de andere twee zijden dezelfde lengte hebben.

Gegeven een driehoek met zijden # a = sqrt (65), b = t, c = t #, we kunnen de formule van Heron gebruiken om het gebied te vinden.

Reigers formule vertelt ons dat het gebied van een driehoek met zijden #a, b, c # en semi-perimeter #s = 1/2 (a + b + c) # is gegeven door:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

In ons geval is de semi-omtrek:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

en de formule van Heron vertelt ons dat:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (wit) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Vermenigvuldig beide einden met #2# te krijgen:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Vierkant aan beide kanten om te krijgen:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Vermenigvuldig beide kanten met #4/65# te krijgen:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Transponeren en toevoegen #65/4# aan beide kanten om te krijgen:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Neem de positieve vierkantswortel van beide kanten om te krijgen:

#t = sqrt (266369/260) #

Dus de lengtes van de zijden van de driehoek zijn:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Alternatieve methode

In plaats van de formule van Heron te gebruiken, kunnen we redeneren als volgt:

Gegeven dat de basis van de gelijkbenige driehoek van lengte is:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Het gebied is # 64 = 1/2 "basis" xx "hoogte" #

Dus de hoogte van de driehoek is:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Dit is de lengte van de middelloodlijn van de driehoek, die door het middelpunt van de basis loopt.

Dus de andere twee zijden vormen de hypotenusa van twee rechthoekige driehoeken met poten #sqrt (65) / 2 # en # (128sqrt (65)) / 65 #

Dus door Pythagoras is elk van die kanten van lengte:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #