De grafiek van h (x) wordt getoond. De grafiek lijkt continu te zijn, waarbij de definitie verandert. Laten zien dat h in feite continu is door de linker en rechter limieten te vinden en te laten zien dat aan de definitie van continuïteit is voldaan?

Antwoord:

Gelieve te verwijzen naar de Uitleg.

Uitleg:

Dat laten zien # H # is continu, we moeten het controleren

continuïteit op # X = 3 #.

We weten dat, # H # zal zijn cont. op # X = 3 #, als en alleen als, #lim_ (x tot 3-) h (x) = h (3) = lim_ (x tot 3+) h (x) ………………… ………. (ast) #.

Zoals #x tot 3-, x lt 3:. h (x) = - x ^ 2 + 4x + 1 #.

#:. lim_ (x tot 3-) h (x) = lim_ (x tot 3 -) - x ^ 2 + 4x + 1 = - (3) ^ 2 + 4 (3) + 1 #, # rArr lim_ (x to 3-) h (x) = 4 …………………………….. ………………. (ast ^ 1) #.

Evenzo #lim_ (x tot 3+) h (x) = lim_ (x tot 3+) 4 (0.6) ^ (x-3) = 4 (0.6) ^ 0 #.

# rArr lim_ (x tot 3+) h (x) = 4 …………………………….. …………….. (ast ^ 2) #.

Tenslotte, #h (3) = 4 (0,6) ^ (3-3) = 4 ………………………….. …… (ast ^ 3) #.

# (ast), (ast ^ 1), (ast ^ 2) en (ast ^ 3) rARr h "is cont. at" x = 3 #.

Antwoord:

Zie hieronder:

Uitleg:

Voor een functie die continu is op een punt (noem het 'c'), moet het volgende waar zijn:

• #f (c) # moet bestaan.

• #lim_ (x-> c) f (x) # moet bestaan

De eerste is gedefinieerd als waar, maar we moeten de laatste verifiëren. Hoe? Wel, herinner eraan dat om een limiet te laten bestaan, de rechter- en linkerhandlimieten dezelfde waarde moeten hebben. wiskundig:

#lim_ (x-> c ^ -) f (x) = lim_ (x-> c ^ +) f (x) #

Dit moeten we verifiëren:

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Links van #x = 3 #, dat kunnen we zien #f (x) = -x ^ 2 + 4x + 1 #. Ook rechts van (en bij) #x = 3 #, #f (x) = 4 (0.6 ^ (x-3)) #. Dit gebruiken:

#lim_ (x-> 3) -x ^ 2 + 4x + 1 = lim_ (x-> 3) 4 (0.6 ^ (x-3)) #

We evalueren deze limieten gewoon en controleren of ze gelijk zijn:

#-(3^2) + 4(3) + 1 = 4(0.6^(3-3))#

#=> -9 + 12 + 1 = 4(0.6^0)#

#=> 4 = 4#

Dus dat hebben we geverifieerd #f (x) # is continu bij #x = 3 #.

Hoop dat het geholpen heeft:)