Wat is de betekenis van de inverteerbare matrix?

Wat is de betekenis van de inverteerbare matrix?
Anonim

Het korte antwoord is dat in een systeem van lineaire vergelijkingen als de coëfficiëntmatrix omkeerbaar is, je oplossing uniek is, dat wil zeggen, je hebt één oplossing.

Er zijn veel eigenschappen voor een inverteerbare matrix om hier te vermelden, dus u moet naar de Invertible Matrix-stelling kijken. Voor een matrix om inverteerbaar te zijn, moet dat zo zijn plein, dat wil zeggen, het heeft hetzelfde aantal rijen als kolommen.

In het algemeen is het belangrijker om te weten dat een matrix inverteerbaar is, in plaats van feitelijk een inverteerbare matrix te produceren omdat het meer rekenkundig de kosten is om de inverteerbare matrix te berekenen dan alleen het oplossen van het systeem. Je zou een inverse matrix berekenen als je voor veel oplossingen zou oplossen.

Stel dat je dit systeem van lineaire vergelijkingen hebt:

# 2x + 1.25y = b_1 #

# 2.5x + 1.5y = B_2 #

en je moet oplossen # (x, y) # voor de paren constanten: #(119.75, 148), (76.5, 94.5), (152.75, 188.5)#. Lijkt veel werk! In matrixvorm ziet dit systeem er als volgt uit:

# Ax = b #

waar #EEN# is de coëfficiëntmatrix, #X# is de vector # (X, y) # en # B # is de vector # (b_1, b_2) #. We kunnen oplossen voor #X# met wat matrix algebra:

# X = A ^ (- 1) b #

waar #A ^ (- 1) # is de inverse matrix. Er zijn verschillende manieren om de inverse matrix te berekenen, dus daar ga ik nu niet op ingaan.

#A ^ (- 1) = #

#-12, 10#

#20, -16#

Dus om de oplossingen te krijgen, hebben we:

# -12 * 119,75 + 10 * 148 = 43 = x_1 #

# 20 * 119,75-16 * 148 = 27 = y_1 #

# -12 * 76,5 + 10 * 94,5 = 27 = x_2 #

# 20 * 76,5-16 * 94,5 = 18 = y_2 #

# -12 * 152,75 + 10 * 188,5 = 52 = x_3 #

# 20 * 152,75-16 * 188,5 = 39 = y_3 #

Nu, is dat niet eenvoudiger dan het oplossen van 3 systemen?