Waarom heb je geen nul tot nul?

Dit is een heel goede vraag. In het algemeen, en in de meeste situaties, definiëren wiskundigen #0^0 = 1#.

Maar dat is het korte antwoord. Deze vraag is besproken sinds de tijd van Euler (dat wil zeggen honderden jaren).

We weten dat een niet-nulnummer naar de #0# macht is gelijk aan #1 #

# n ^ 0 = 1 #

En die nul verhoogd tot een nul getal is gelijk aan #0#

# 0 ^ n = 0 #

Enige tijd #0^0# wordt gedefinieerd als onbepaald, dat is in sommige gevallen gelijk aan #1# en anderen #0.#

Twee bronnen die ik heb gebruikt zijn:

www.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-negative-numbers-multiply-and-divide/cc-7th-exponents-negative-base/v/powers-of- nul

Nou ja, dat had je wel kunnen doen #0^0#. Over het algemeen vertrekken wiskundigen #0^0# undefined. Er zijn 3 overwegingen die iemand ertoe kunnen brengen een definitie in te stellen #0^0#.

Het probleem (als het een probleem is) is dat ze het niet eens zijn over wat de definitie zou moeten zijn.

Overweging 1:

Voor elk nummer # P # anders dan #0#, wij hebben # P ^ 0 = 1 #.

Dit is eigenlijk een definitie van wat de nul-exponent betekent. Het is een definitie die om goede redenen is gekozen. (En het "verbreekt" niet de rekenkunde.)

Dit is een van de goede redenen: definiëren # P ^ 0 # zijn #1# laat ons de regels voor het werken met exponenten behouden (en uitbreiden), Bijvoorbeeld, #(5^7)/(5^3)=5^4# Dit werkt door annulering en ook door de regel # (P ^ n) / (p ^ m) = p ^ (n-m) # voor #n> m #.

Dus hoe zit het met #(5^8)/(5^8)#?

Annulering (vermindering van de breuk) geeft ons #1#. We mogen onze regel "aftrekken van de exponenten" houden als we dat doen bepalen #5^0# zijn #1#.

Dus misschien moeten we dezelfde regel gebruiken om te definiëren #0^0#.

Maar…

Overweging 2

Voor elke positieve exponent, # P #, wij hebben # 0 ^ p = 0 #. (Dit is niet een definitie, maar een feit dat we kunnen bewijzen.)

Dus als het waar is voor positieve exponenten, moeten we het misschien uitbreiden naar de #0# exponent en bepalen #0^0=0#.

Overweging 3

We hebben de uitdrukkingen bekeken: # X ^ 0 # en # 0 ^ x #.

Bekijk nu de uitdrukking # X ^ x #. Dit is de grafiek van # Y = x ^ x #:

grafiek {y = x ^ x -1.307, 3.018, -0.06, 2.103}

Een van de dingen die je misschien opvalt, is dat wanneer #X# is heel dichtbij #0# (maar nog steeds positief), # X ^ x # is heel dichtbij #1#.

Op sommige gebieden in de wiskunde is dit een goede reden bepalen #0^0# zijn #1#.

Laatste opmerkingen

Definitie is belangrijk en krachtig, maar kan niet zorgeloos worden gebruikt. Ik noemde "brekende rekenkunde". Elke poging om bepalen divisie zodat divisie door #0# mag een belangrijk deel van de rekenkunde doorbreken. Elke poging.

Laatste opmerking: de definities van #X ^ (- n) = 1 / (x ^ n) # en # x ^ (1 / n) = root (n) x # zijn ook deels gemotiveerd, door de wens om onze vertrouwde regels voor het werken met exponenten te behouden.