Hoe vind je een machtsreeksrepresentatie voor (arctan (x)) / (x) en wat is de straal van convergentie?

Antwoord:

Integreer de vermogensreeks van de afgeleide van #arctan (x) # deel je dan door #X#.

Uitleg:

We kennen de vermogensrepresentatie van # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # zoals dat #absx <1 #. Zo # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Dus de vermogensreeks van #arctan (x) # is #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Je deelt het door #X#, je komt erachter dat de vermogensreeks van #arctan (x) / x # is #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Laten we zeggen #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Om de straal van convergentie van deze vermogensreeks te vinden, evalueren we #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Dus als we willen dat de energieserie convergeert, hebben we dat nodig #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, dus de serie zal convergeren als #absx <1 #, wat niet verrassend is, omdat het de straal van convergentie is van de machtsreeksrepresentatie van #arctan (x) #.