Wat is int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Antwoord:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Uitleg:

Deze uitleg is een beetje lang, maar ik kon geen snellere manier vinden om het te doen …

De integraal is een lineaire toepassing, dus u kunt de functie al onder het integraalteken splitsen.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

De eerste 2 termen zijn polynomiale functies, dus ze zijn eenvoudig te integreren. Ik laat je zien hoe je het doet # X ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # zo # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Je doet precies hetzelfde voor # X ^ 3 #, het resultaat is #255/4#.

bevinding #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # is een beetje lang en gecompliceerd. Eerst vermenigvuldig je de breuk met #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # en dan verander je de variabele: laten we zeggen #u = sqrt (x-1) #. Zo # Du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # en je moet nu vinden # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. Om het te vinden, hebt u de decompositie van de rationale functie nodig # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # met # a, b, c, d in RR #. Na calculus komen we dat te weten # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, wat betekent dat # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # is bekend, dat is het #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Tenslotte, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

Je vervangt # U # door zijn oorspronkelijke expressie met #X# hebben #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, dat is #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Dus eindelijk, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #