Waarom is de vierkantswortel van 5 een irrationeel getal?

Antwoord:

Zie uitleg …

Uitleg:

Hier is een schets van een bewijs door tegenspraak:

Veronderstellen #sqrt (5) = p / q # voor sommige positieve gehele getallen # P # en # Q #.

Zonder verlies van algemeenheid, kunnen we veronderstellen dat #p, q # zijn de kleinste van dergelijke aantallen.

Per definitie:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Vermenigvuldig beide einden met Q ^ # 2 # te krijgen:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Zo # P ^ 2 # is deelbaar door #5#.

Sindsdien #5# is priem, # P # moet deelbaar zijn door #5# te.

Zo #p = 5m # voor een positief geheel getal # M #.

Dus we hebben:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Verdeel beide uiteinden door #5# te krijgen:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Verdeel beide uiteinden door # M ^ 2 # te krijgen:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Zo #sqrt (5) = q / m #

Nu #p> q> m #, dus #q, m # is een kleiner paar gehele getallen waarvan het quotiënt is #sqrt (5) #, in tegenspraak met onze hypothese.

Dus onze hypothese dat #sqrt (5) # kan worden weergegeven door # P / q # voor sommige gehele getallen # P # en # Q # is fout. Dat is, #sqrt (5) # is niet rationeel. Dat is, #sqrt (5) # is irrationeel.