X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (factorise)?

Antwoord:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (X ^ 2- (alfa + bar (a)) x + 2) (x ^ 2- (omegaalpha + omega ^ 2bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omega ^ 2alpha + omegabar (alpha)) x + 2) #

zoals hieronder beschreven…

Uitleg:

Waarschuwing:

Dit antwoord is mogelijk geavanceerder dan verwacht.

Notes

Het is mogelijk om te vereenvoudigen en te vinden:

# alpha + bar (alpha) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alpha) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alpha) = -1 #

maar het is (nog) niet duidelijk voor mij hoe dit het beste kan.

Antwoord:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Uitleg:

Hier is een eenvoudiger methode …

Gegeven:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Zoek naar een ontbinding van de vorm:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = X ^ 6 + (alfa + bèta + gamma) x ^ 5 + (alphabeta + Beta-+ gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (alfa + bèta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + (2 (alphabeta beta-+ + gammaalpha) 12) x ^ 2 + 4 (alfa + bèta + gamma) x + 8 #

Equalerende coëfficiënten vinden we:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -6), (alphabetagamma = -5):} #

Zo #alpha, beta, gamma # zijn de nullen van de kubieke:

# (X-a) (x-beta) (x-y) #

# = X ^ 3- (alfa + bèta + gamma) x ^ 2 + (Beta-alphabeta + + gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = X ^ + 5 3-6x #

Merk op dat de som van de coëfficiënten van dit kubieke getal is #0#. Dat is #1-6+5 = 0#.

Vandaar # X = 1 # is een nul en # (X-1) # een factor:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

De nulpunten van het overblijvende kwadratische gebied kunnen worden gevonden met behulp van de kwadratische formule als:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

Zo # {alpha, bèta, gamma} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

Zo:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Bonus

Kunnen we bovenstaande afleiding generaliseren?

# X ^ 6 ^ 3 + px + q ^ 3 #

# = (X ^ 2 + Alphax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + GamMax + q) #

# = X ^ 6 + (alfa + bèta + gamma) x ^ 5 + (alphabeta + Beta-+ gammaalpha + 3q) x ^ 4 + (q (alfa + bèta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + q (alphabeta + beta-gammaalpha + + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alfa + bèta + gamma) x + q ^ 3 #

Equaliseer coëfficiënten:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -3q), (alphabetagamma = p):} #

Vandaar #alpha, beta, gamma # zijn de nullen van:

# X ^ 3-3qx-p #

Dus als we drie echte nullen van deze kubieke schijf kunnen vinden, dan hebben we de ontbinding van de sextic # X ^ 6 ^ 3 + px + q ^ 3 # in drie kwadraten met reële coëfficiënten.