Hoe vind je de limiet van (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) als x nadert oo?

Antwoord:

Doe een beetje factoring en annulering om te krijgen #lim_ (x-> oo) (8x-14) / (sqrt (13x 49x + ^ 2)) = 8/7 #.

Uitleg:

Bij oneindige grenzen is de algemene strategie om te profiteren van het feit dat #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #. Normaal gesproken betekent dit het factoringen van een #X#, dat is wat we hier gaan doen.

Begin met het in rekening brengen van een #X# uit de teller en een # X ^ 2 # uit de noemer:

# (X (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2 (13/49 + x))) #

# = (X (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2) sqrt (13/49 + x)) #

Het probleem is nu aangebroken #sqrt (x ^ 2) #. Het is equivalent aan #abs (x) #, wat een stuksgewijze functie is:

#abs (x) = {(x, "voor", x> 0), (- x, "voor", x <0):} #

Omdat dit een limiet is bij positieve oneindigheid (#x> 0 #), zullen we vervangen #sqrt (x ^ 2) # met #X#:

# = (X (8-14 / x)) / (xsqrt (13/49 + x)) #

Nu kunnen we het #X#s:

# = (8-14 / x) / (sqrt (13/49 + x)) #

En eindelijk zien wat er gebeurt als #X# gaat naar # Oo #:

# = (8-14 / oo) / (sqrt (13 / oo + 49)) #

Omdat #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #, dit is gelijk aan:

# (8-0) / (sqrt (0 + 49)) #

# = 8 / sqrt (49) #

#=8/7#