Hoe vereenvoudig ik (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Antwoord:

# Cos ^ 5x #

Uitleg:

Dit soort problemen is echt niet zo slecht als je eenmaal beseft dat het om een kleine algebra gaat!

Eerst zal ik de gegeven uitdrukking herschrijven om de volgende stappen gemakkelijker te begrijpen te maken. We weten dat # Sin ^ 2x # is gewoon een eenvoudiger manier om te schrijven # (sin x) ^ 2 #. Evenzo # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

We kunnen nu de oorspronkelijke uitdrukking herschrijven.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Nu, hier is het gedeelte over algebra. Laat #sin x = a #. We kunnen schrijven # (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 # zoals

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Klinkt dit bekend? We moeten dit gewoon in aanmerking nemen! Dit is een perfecte driedubbele trinominale. Sinds # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, we kunnen zeggen

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Schakel nu terug naar de oorspronkelijke situatie. Re-substituut #sin x # voor #een#.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (kleur (blauw) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

We kunnen nu een trigonometrische identiteit gebruiken om de termen in het blauw te vereenvoudigen. De identiteit opnieuw rangschikken # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, we krijgen #color (blauw) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (kleur (blauw) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Als we dit eenmaal hebben afgerond, vermenigvuldigen de negatieve signalen om positief te worden.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = Cos ^ 5x #

Dus, # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.