Bewijs het: sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / abs (sinx)?

Antwoord:

Bewijs hieronder

gebruikmakend van conjugaten en trigonometrische versie van de stelling van Pythagoras.

Uitleg:

Deel 1

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) #

#color (wit) ("XXX") = sqrt (1-cosx) / sqrt (1 + cosx) #

#color (wit) ("XXX") = sqrt ((1-cosx)) / sqrt (1 + cosx) * sqrt (1-cosx) / sqrt (1-cosx) #

#color (wit) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) #

Deel 2

evenzo

#sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) #

#color (wit) ("XXX") = (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) #

Deel 3: Combinatie van de voorwaarden

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) #

#color (wit) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) + (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) #

#color (wit) ("XXX") = 2 / sqrt (1-cos ^ 2x) #

#color (wit) ("xxxxxx") #en sindsdien # ^ Sin 2x + cos ^ 2x = 1 # (gebaseerd op de stelling van Pythagoras)

#color (wit) ("XXXXXXXXX") sin ^ = 2x 1-cos ^ 2x #

#color (wit) ("XXXXXXXXX") sqrt (1-cos ^ 2x) = abs (sinx) #

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / sqrt (1-cos ^ 2x) = 2 / abs (sinx) #

Hoe te bewijzen (1 + sinx-cosx) / (1 + cosx + sinx) = tan (x / 2)?

Zie onder. LHS = (1-cosx + sinx) / (1 + cosx + sinx) = (2sin ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2)) / (2cos ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2) = (2sin (x / 2) [sin (x / 2) + cos (x / 2)]) / (2cos (x / 2) * [ sin (x / 2) + cos (x / 2)]) = tan (x / 2) = RHS

De getallen x, y z voldoen aan abs (x + 2) + abs (y + 3) + abs (z-5) = 1 en bewijzen dan dat abs (x + y + z) <= 1 is?

Zie Toelichting. Herinner dat, | (a + b) | le | a | + | b | ............ (ster). :. | x + y + z | = | (x + 2) + (y + 3) + (z-5) |, le | (x + 2) | + | (y + 3) | + | (z-5 ) | .... [omdat, (ster)], = 1 ........... [omdat, "Gegeven"). d.w.z. | (x + y + z) | le 1.

Bewijs dat het aantal sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) niet rationeel is voor een natuurlijk getal n groter dan 1?

Zie uitleg ...Stel dat: sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) rationeel is. Vervolgens moet het vierkant rationeel zijn, dat wil zeggen: 1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n)) en daarom is : sqrt (2 + sqrt (3 + ... + sqrt (n))) We kunnen herhaaldelijk kwadreren en aftrekken om erachter te komen dat het volgende rationeel moet zijn: {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), ( sqrt (n)):} Vandaar dat n = k ^ 2 voor een positief geheel getal k> 1 en: sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) Merk op dat: k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 Daarom is k ^ 2 + k-1 ook niet het kwadraat van een geheel getal en sqrt (k ^ 2 + k-1 ) is