Wat is het verschil tussen een antiderivatief en een integraal?

Er zijn geen verschillen, de twee woorden zijn synoniemen.

Het hangt van een paar dingen af. Welk antiderivaat, het algemene of een bepaalde? welke integraal definitief of onbepaald? En, wie vragen we?

Algemeen Antiderivatief en Onbepaald Integraal:

Veel wiskundigen onderscheiden niet de onbepaalde integraal en de algemene antiderivatie. In beide gevallen voor functie # F # het antwoord is # F (x) + C # waar #F '(x) = f (x) #..

Sommige (bijvoorbeeld tekstboekauteur James Stewart) maken een onderscheid. Wat Stewart aanduidt als "de meest algemene" antiderivatie van # F #, laat verschillende constanten toe bij elke diskwalificatie van # F #. Hij zou bijvoorbeeld antwoorden dat de meest algemene antiderivatie van # 1 / x ^ 2 # is een stuksgewijs gedefinieerde functie:

# F (x) = (- 1) / x + C_1 # voor #x <0 # en # (- 1) / x + C_2 # voor #x> 0 #.

De onbepaalde integraal van # F #, in deze behandeling, is altijd een antiderivative op een bepaald interval waarop # F # is continu.

Zo #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, waarbij het duidelijk is dat het domein beperkt is tot een deelverzameling van de positieve realen of een subset van de negatieve realen.

Bijzondere Antiderivatieven

Een bijzondere antiderivatie van # F # is een functie # F # (in plaats van een familie van functies) waarvoor #F '(x) = f (x) #.

Bijvoorbeeld:

# F (x) = (- 1) / x + 5 # voor #x <0 # en # (- 1) / x + 1 # voor #x> 0 #.

is een bepaald antidepressivum voor #f (x) = 1 / x ^ 2 #

En:

#G (x) = (- 1) / x-3 # voor #x <0 # en # (- 1) / x + 6 # voor #x> 0 #.

is een ander specifiek antidepressivum voor #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Bepaalde integralen

De definitieve integraal van # F # van #een# naar # B # is geen functie. Het is een nummer.

Bijvoorbeeld:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Om de zaken nog ingewikkelder te maken, kan deze definitieve integraal worden gevonden, met behulp van de Fundamental Storem of Calculus, deel 2, door eerst het / een onbepaald integraal / algemeen antiderivatief te vinden en vervolgens een somearithmetisch te doen.)

Uw vraag is gerelateerd aan wat echt het "sleutelinzicht" was in de ontwikkeling van calculus door Isaac Newton en Gottfried Leibniz.

Focussen op functies die nooit negatief zijn, kan dit inzicht worden geformuleerd als: "Antiderivatives kunnen worden gebruikt om vind gebieden (integralen) en gebieden (integralen) kunnen worden gebruikt om bepalen antiderivatives ". Dit is de essentie van de Fundamentele Stelling van Calculus.

Zonder zich zorgen te hoeven maken over Riemann-sommen (ten slotte woonde Bernhard Riemann hoe dan ook bijna 200 jaar na Newton en Leibniz) en het idee van het gebied als een intuïtief (ongedefinieerd) concept te beschouwen, voor een continue niet-negatieve functie #f (x) geq 0 # voor iedereen #X# met #a leq x leq b #, denk gewoon aan het definitieve integrale symbool # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # als vertegenwoordigend het gebied onder de grafiek van # F # en boven de #X#-as tussen # X = a # en # X = b #. Als een andere functie # F # kan zo worden gevonden #F '(x) = f (x) # voor iedereen #a leq x leq b #, dan # F # wordt een antiderivative van # F # over het interval # A, b # en het verschil #F (b) -F (a) # is gelijk aan de waarde van de bepaalde integraal. Dat is, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Dit feit is handig voor bevinding de waarde van een bepaalde integraal (oppervlakte) wanneer een formule voor een antiderivaat kan worden gevonden.

Omgekeerd, als we de bovengrens van het integraalsymbool een variabele maken, roep het dan # T #en definieer een functie # F # door de formule #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (zo #F (t) # is echt het gebied onder de grafiek van # F # tussen # X = a # en # X = t #, ervan uitgaande dat #a leq t leq b #), dan is deze nieuwe functie # F # is goed gedefinieerd, differentieerbaar, en #F '(t) = f (t) # voor alle nummers # T # tussen #een# en # B #. We hebben een integraal gebruikt voor bepalen een antiderivatief van # F #. Dit feit is nuttig voor het benaderen van waarden van een antiderivatief wanneer er geen formule voor is gevonden (met behulp van numerieke integratiemethoden zoals de regel van Simpson). Het wordt bijvoorbeeld de hele tijd gebruikt door statistici bij het benaderen van gebieden onder de Normale curve. De waarden van een speciaal antiderivatief van de standaard Normale curve worden vaak gegeven in een tabel in statistiekenboeken.

In het geval waar # F # heeft negatieve waarden, de definitieve integraal moet worden bedacht in termen van "ondertekende gebieden".