Hoe evalueer je [(1 + 3x) ^ (1 / x)] als x oneindig nadert?

Antwoord:

#lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = 1 #

Uitleg:

Gaat een handige kleine truc gebruiken die gebruik maakt van het feit dat de exponentiële en natuurlijke logfuncties omgekeerde operaties zijn. Dit betekent dat we beide kunnen toepassen zonder de functie te veranderen.

#lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) e ^ (ln (1 + 3x) ^ (1 / x)) #

Met behulp van de exponentregel van logboeken kunnen we de stroom naar voren brengen door:

#lim_ (xrarroo) e ^ (1 / xln (1 + 3x)) #

De exponentiële functie is continu, dus kan dit zo schrijven

# E ^ (lim_ (xrarroo) 1 / xln (1 + 3x)) #

en ga nu gewoon om met de limiet en onthoud deze terug te zetten in het exponentiële.

#lim_ (xrarroo) 1 / xln (1 + 3x) = lim_ (xrarroo) (ln (1 + 3x)) / (x) #

Deze limiet is van de onbepaalde vorm # Oo / oo # gebruik dus L'Hopital's.

#lim_ (xrarroo) (ln (1 + 3x)) / x = lim_ (xrarroo) (d / (dx) (ln (1 + 3x))) / (d / (dx) (x)) = lim_ (xrarroo) (3 / (1 + 3x)) = 0 #

Daarom is de limiet van de exponent 0, dus de algehele limiet is # E ^ 0 = 1 #