Een touw van 20 cm wordt in twee stukken gesneden. Een van de stukken wordt gebruikt om een omtrek van een vierkant te vormen?

Antwoord:

# "Minimale totale oppervlakte = 10.175 cm²." #

# "Maximale totale oppervlakte = 25 cm²." #

Uitleg:

# "Noem de lengte van het stuk om een vierkant te vormen." #

# "Dan is het gebied van het vierkant" (x / 4) ^ 2 "." #

# "De omtrek van de driehoek is" 20-x "." #

# "Als y een van de gelijke zijden van de driehoek is, hebben we" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => gebied = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Totale oppervlakte =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Dit is een parabool en het minimum voor een parabool" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "is" x = -b / (2 * a) ", if a> 0." #

# "Het maximum is" x-> oo ", als een> 0." #

# "Dus het minimum is" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Totale oppervlakte =" 10.175 "cm²." #

# "Het maximum is ofwel x = 0 of x = 20." #

# "We controleren het gebied:" #

# "Wanneer" x = 0 => "gebied =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #

# "Wanneer" x = 20 => "gebied =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Dus het maximale totale oppervlak is 25 cm²." #

Antwoord:

Het minimumgebied is #10.1756# en het maximum is #25#

Uitleg:

De omtrek van een rechthoekige gelijkbenige driehoek van zijde #een# is # A + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # en het gebied is # A ^ 2/2 #,

Laat een stuk zijn #X# cm. van waaruit we een rechthoekige gelijkbenige driehoek vormen. Het is duidelijk dat de zijde van de rechthoekige gelijkbenige driehoek zou zijn # X / (2 + sqrt2) # en het gebied zou zijn

# X ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (X ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

De omtrek van een ander deel van de snaar dat een vierkant vormt is # (20-x) # en zoals kant van vierkant is # (20-x) / 4 # zijn gebied is # (20-x) ^ 2/16 # en totale oppervlakte # T # van de twee is

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Observeer dat # 3-2sqrt2> 0 #, dus coëfficiënt van # X ^ 2 # is positief en daarom hebben we een minima en kunnen we schrijven # T # zoals

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0,1054 (x ^ 2-23.7192x + (11,8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11,8596) ^ 2 #

= # 0,1054 (x-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

Zoals # 0,1054 (x-11,8596) ^ 2 # is altijd positief, we hebben een minimumwaarde van # T # wanneer # X = 11,8596 #.

Merk op dat er theoretisch geen maxima voor de functie zijn, maar als waarde van #X# ligt tussen #0,20#, en wanneer # X = 0 #, wij hebben # T = 0,1054 (0-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10,1756 = 25 #

en wanneer # X = 20 # wanneer # T = 0,1054 (20-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10,1756 = 17,16 #

en daarom is maxima #25#

grafiek {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11.92, 28.08, -0.96, 19.04}