Een gelijkbenige driehoek heeft zijden A, B en C waarvan zijden B en C gelijk zijn in lengte. Als kant A van (1, 4) naar (5, 1) gaat en het gebied van de driehoek 15 is, wat zijn de mogelijke coördinaten van de derde hoek van de driehoek?

Antwoord:

De twee hoekpunten vormen een basis van lengte 5, dus de hoogte moet 6 zijn om gebied 15 te krijgen. De voet is het middelpunt van de punten en zes eenheden in een van beide loodrechte richtingen geeft # (33/5, 73/10)# of #(- 3/5, - 23/10) #.

Uitleg:

Pro tip: probeer te houden aan de conventie van kleine letters voor driehoekige zijden en hoofdletters voor driehoekige hoekpunten.

We krijgen twee punten en een deel van een gelijkbenige driehoek. De twee punten vormen de basis, # B = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

De voet # F # van de hoogte is het middelpunt van de twee punten, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

De richtingsvector tussen de punten is #(1-5, 4-1)=(-4,3)# met magnitude 5 zoals net berekend. We krijgen de richtingsvector van de loodlijn door de punten te verwisselen en een van hen te ontkennen: #(3,4)# die ook magnitude vijf moet hebben.

Sinds het gebied # A = frac 1 2 b h = 15 # we krijgen # H = (2 * 15) /b=6.#

Dus we moeten verhuizen #6# eenheden van # F # in een van beide loodrechte richting om onze derde vertex te krijgen die ik heb genoemd # C #:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) of C = (- 3/5, - 23/10) #

Controleren: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Het ondertekende gebied is dan de helft van het kruisproduct

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {} #

Dat is het einde, maar laten we het antwoord een beetje generaliseren. Laten we vergeten dat het gelijkbenig is. Als we C (x, y) hebben, wordt het gebied gegeven door de schoenveterformule:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

Het gebied is #15#:

# pm 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # of # -11 = 3x + 4y #

Dus als de vertex C op een van deze twee evenwijdige lijnen staat, hebben we een driehoek van gebied 15.

Laat # PR = A # de zijde zijn van de gelijkbenige driehoek met de coördinaten van de eindpunten als volgt

#Pto (1,4) # en #Rto (5,1) #

Laat de coördinaten van het derde punt van de driehoek zijn # (X, y) #.

Zoals # (X, y) # is equidistant van P en R die we kunnen schrijven

# (X-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => X ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8Y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6Y = 9 #

# => X = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

Nog een keer # (X, y) # op gelijke afstand van P en R, de loodlijn daalde van # (X, y) # naar # PR # moet het in tweeën delen, Laat deze voet van het loodrechte of middelpunt van # PR # worden # T #

Dus coördinaten van #Tto (3,2.5) #

Nu hoogte van de gelijkbenige driehoek

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) #

En de basis van de gelijkbenige driehoek

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Dus door het probleem het gebied

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) = 6 #

# => (X-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2 #

Door 2 en 1 krijgen we

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6j-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6j-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => Y ^ 2-5y + 6,25 = 4,8 ^ 2 #

# => (Y-2.5) ^ 2 = 4,8 ^ 2 #

# => Y = 2.5pm4.8 #

Zo # y = 7,3 en y = -2,3 #

wanneer # Y = 7,3 #

# X = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

wanneer # Y = -2,3 #

# X = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0.6 #

Dus de coördinaten van het derde punt zullen zijn

# (6.6.7.3) naar "Q in figuur" #

# (- 0.6, -2.3) naar "S in figuur" #

Een gelijkbenige driehoek heeft zijden A, B en C waarvan zijden B en C gelijk zijn in lengte. Als kant A van (7, 1) naar (2, 9) gaat en het gebied van de driehoek 32 is, wat zijn de mogelijke coördinaten van de derde hoek van de driehoek?

(1825/178, 765/89) of (-223/178, 125/89) We relabel in standaardnotatie: b = c, A (x, y), B (7,1), C (2,9) . We hebben tekst {area} = 32. De basis van onze gelijkbenige driehoek is BC. We hebben a = | BC | = sqrt {5 ^ 2 + 8 ^ 2} = sqrt {89} Het middelpunt van BC is D = ((7 + 2) / 2, (1 + 9) / 2) = (9/2, 5). De middelloodlijn van BC gaat door D en vertex A. h = AD is een hoogte, die we van het gebied krijgen: 32 = frac 1 2 ah = 1/2 sqrt {89} hh = 64 / sqrt {89} richtingsvector van B naar C is CB = (2-7,9-1) = (- 5,8). De richtingsvector van zijn loodlijnen is P = (8,5), de coördinaten verwisselbaar en er een ontkennen.

Een driehoek heeft zijden A, B en C. De hoek tussen zijden A en B is (7pi) / 12. Als kant C een lengte van 16 heeft en de hoek tussen zijden B en C pi / 12 is, wat is dan de lengte van zijde A?

A = 4.28699 eenheden Laat me eerst de zijkanten aanduiden met de kleine letters a, b en c. Laat me de hoek tussen kant "a" en "b" met / _ C, hoek tussen zijde "b" en "c" / _ A en hoek tussen zijde "c" en "a" door / _ B. Opmerking: - het teken / _ wordt gelezen als "hoek". We krijgen met / _C en / _A. Het is gegeven dat kant c = 16. Het gebruik van de Wet van Sines (Zonde / _A) / a = (sin / _C) / c impliceert Zonde (pi / 12) / a = sin ((7pi) / 12) / 16 impliceert 0.2588 / a = 0.9659 / 16 impliceert 0.2588 / a = 0.06036875 impliceert a = 0.2588 / 0.0603687

Een driehoek heeft zijden A, B en C. De hoek tussen zijden A en B is (5pi) / 12 en de hoek tussen zijden B en C is pi / 12. Als kant B een lengte van 4 heeft, wat is dan het gebied van de driehoek?

Pl, zie hieronder De hoek tussen zijden A en B = 5pi / 12 De hoek tussen zijden C en B = pi / 12 De hoek tussen zijden C en A = pi -5pi / 12-pi / 12 = pi / 2 vandaar de driehoek is een rechte hoek en B is de hypotenusa. Daarom kant A = Bsin (pi / 12) = 4sin (pi / 12) kant C = Bcos (pi / 12) = 4cos (pi / 12) So gebied = 1 / 2ACsin (pi / 2) = 1/2 * 4sin (pi / 12) * 4cos (pi / 12) = 4 * 2sin (pi / 12) * cos (pi / 12) = 4 * sin (2pi / 12) = 4 * sin (pi / 6) = 4 * 1 / 2 = 2 vierkante eenheid