Hoe verschilt trigonometrische substitutie van u-substitutie?

Antwoord:

Over het algemeen wordt trig-substitutie gebruikt voor integralen van de vorm # X ^ 2 + -a ^ 2 # of #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, terwijl # U #-substitutie wordt gebruikt wanneer een functie en de afgeleide ervan in de integraal verschijnen.

Uitleg:

Ik vind beide soorten vervangingen erg fascinerend vanwege de redenering erachter. Overweeg eerst substitueren. Dit komt voort uit de stelling van Pythagoras en de Pythagorische identiteiten, waarschijnlijk de twee belangrijkste concepten in trigonometrie. We gebruiken dit wanneer we zoiets hebben als:

# X ^ 2 + a ^ 2 -> # waar #een# is constant

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # opnieuw aannemende #een# is constant

We kunnen zien dat deze twee er erg op lijken # A ^ 2 + b = c ^ 2 ^ 2 #, wat de stelling van Pythagoras is. Het relateert de twee zijden van een rechthoekige driehoek met de hypotenusa van de driehoek. Als we dit uittekenen, kunnen we zien dat ja, # X ^ 2 + a ^ 2 # kan worden weergegeven met een driehoek:

De foto is erg handig, omdat het ons vertelt # Tantheta = x / a #of # Atantheta = x #; dit vormt de basis van de trig-substitutie. Verder (en dit is waar het geweldig wordt), wanneer je het vervangt # X = tantheta # in # X ^ 2 + a ^ 2 #, je eindigt in dit geval met een Pythagorische identiteit # Tan ^ 2teta + 1 = sec ^ 2teta #. U kunt dan wat vereenvoudigen # Sec ^ 2teta # als dat nodig is, en de integraal is gemakkelijk daar op uit. Hetzelfde geldt voor de gevallen # X ^ 2-a ^ 2 #, # Een ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #, en #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

U kunt trig sub gebruiken. voor een groot deel van de problemen, maar je kunt gebruiken # U #-substitutie aantoonbaar nog meer. We gebruiken deze techniek wanneer we zoiets hebben # Intlnx / xdx #. Als we oplettend zijn, zien we dat we twee functies hebben: # Lnx # en # 1 / x #. En als we onze basisderivaten onthouden, weten we dat D # / dxlnx = 1 / x # voor #x> 0 # (of D # / dxlnabs (x) = 1 / x # voor #x! = 0 #). Dus het idee is om te zeggen laten # U = lnx #; dan # (Du) / dx = 1 / x # en # Du = dx / x #. Het probleem, na het maken van deze vervangingen, vereenvoudigt tot # Intudu # - een veel eenvoudiger integraal dan voorheen.

Hoewel deze twee technieken verschillend kunnen zijn, hebben ze allebei hetzelfde doel: een integrale tot een eenvoudiger vorm reduceren, zodat we basistechnieken kunnen gebruiken. Ik weet zeker dat mijn uitleg niet voldoende is om alle specifieke details over deze vervangingen te bevatten, dus nodig ik anderen uit om een bijdrage te leveren.