Wat zijn quaternions?

Antwoord:

Een soort nummer waarvoor vermenigvuldiging over het algemeen niet commutatief is.

Uitleg:

Echte getallen (# RR #) kan worden weergegeven door een lijn - een eendimensionale ruimte.

Complexe getallen (# CC #) kan worden weergegeven door een vlak - een tweedimensionale ruimte.

Quaternions (H) kan worden weergegeven door een vierdimensionale ruimte.

In gewone rekenkundige getallen voldoen aan de volgende regels:

toevoeging

Identiteit: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

inverse: #AA a EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

associativiteit: #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

commutativiteit: #AA a, b: a + b = b + a #

Vermenigvuldiging

Identiteit: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

Inverse van niet-nul: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

associativiteit: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

commutativiteit: #color (rood) (AA a, b: a * b = b * a) #

Samen

distributiviteit: # {(a * (b + c) = (a * b) + (a * c)), ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)):} #

#kleur wit)()#

Deze regels werken voor de set van rationale getallen # QQ #, de verzameling van reële getallen # RR # en de complexe getallen # CC # en definieer wat een a wordt genoemd veld- - een set uitgerust met bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen die aan deze regels voldoen.

Quaternions (H) zijn wat een a wordt genoemd scheef veld of associatieve divisiealgebra - een set uitgerust met bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen die aan al deze voorwaarden voldoen, behalve de commutativiteit van vermenigvuldiging.

Ook een zijn #4# dimensionale vectorruimte boven de Reals, zij zijn de grootste associatieve divisiealgebra over de Reals, de enige andere twee zijnde # RR # en # CC #.

Afgezien van de reële as, worden de eenheden op de andere drie assen opgeroepen #ik#, # J # en # K #. Ze zijn allemaal vierkante wortels van #-1#.

Deze drie imaginaire eenheden voldoen aan de volgende voorwaarden:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

Quaternions kunnen worden weergegeven door # 2xx2 # matrices met complexe waarden of met # 4xx4 # matrices met Real-waarden.

Ze hebben toepassingen in mechanica en theoretische fysica.

#kleur wit)()#

Voetnoot

Let op dat ik zei associatief divisie algebra. Beyond the Quaternions zijn de nog vreemdere Octonions die de vereiste laten vallen dat vermenigvuldiging associatief is.